与えられた式 $12x^2 + 13xy + 3y^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $12x^2 + 13xy + 3y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、$\begin{aligned} (ax + by)(cx + dy) \end{aligned}$の形に因数分解できると仮定します。

展開すると、

$acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$

となります。

したがって、

$ac = 12$

$ad + bc = 13$

$bd = 3$

を満たす整数 $a, b, c, d$ を見つける必要があります。

$bd = 3$より、$b$と$d$の組み合わせは、$(1, 3)$または$(3, 1)$となります。

$b=1$、$d=3$の場合、$ad + bc = 3a + c = 13$となります。

$ac = 12$なので、$a=4$, $c=3$の場合、$3a + c = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15 \neq 13$

$a=3$, $c=4$の場合、$3a + c = 3(3) + 4 = 9 + 4 = 13$となり、条件を満たします。

したがって、$a=3$, $b=1$, $c=4$, $d=3$となります。

よって、因数分解された式は$(3x + y)(4x + 3y)$となります。

3. 最終的な答え

$(3x + y)(4x + 3y)$