関数 $y=2x^2$ について、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める。 (1) $1 \le x \le 3$ (2) $-4 \le x \le 2$

1. 問題の内容

関数 $y=2x^2$ について、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める。

(1) $1 \le x \le 3$

(2) $-4 \le x \le 2$

2. 解き方の手順

関数 $y=2x^2$ は、原点を頂点とする下に凸の放物線である。

(1) $1 \le x \le 3$ の場合

$x=1$ のとき $y=2(1)^2 = 2$

$x=3$ のとき $y=2(3)^2 = 2(9) = 18$

$x$ が $1$ から $3$ まで増加するとき、$y$ も増加する。

したがって、$y$ の変域は $2 \le y \le 18$ となる。

(2) $-4 \le x \le 2$ の場合

$x=-4$ のとき $y=2(-4)^2 = 2(16) = 32$

$x=2$ のとき $y=2(2)^2 = 2(4) = 8$

$x=0$ のとき $y=2(0)^2 = 0$

この区間には $x=0$ が含まれているため、$y$ の最小値は $0$ である。

また、$x=-4$ のとき $y=32$、$x=2$ のとき $y=8$ であり、$x=-4$ のときの $y$ の値が最大である。

したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 32$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $2 \le y \le 18$

(2) $0 \le y \le 32$