与えられた行列式の値を計算し、因数分解された形で答えよ。問題は2つあり、一つは4x4の行列式$d_1$、もう一つは4x4の行列式$d_2$です。 $ d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix} $ $ d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算し、因数分解された形で答えよ。問題は2つあり、一つは4x4の行列式$d_1$、もう一つは4x4の行列式$d_2$です。

$d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

$d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、$d_1$を計算します。

行または列に関する操作を使用して、行列式を単純化します。

2行目を1行目に加えて、

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

4行目から2*2行目を引いて、

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & 7 \end{vmatrix}$

第一列で展開する：

$(-1)^{2+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ 0 & 10 & 7 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1(35-20) - 1(21-0) + 3(30-0)) = -1 \cdot (15 - 21 + 90) = -1(84) = -84$

したがって、$d_1 = -84$。

次に、$d_2$を計算します。

まず、行列式を変形します。第1列を第2,3,4列から引きます。

$\begin{vmatrix} a & b-a & c-a & c-a \\ c & b-c & a-c & c-c \\ b & c-b & b-b & a-b \\ c & b-c & c-c & a-c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b-a & c-a & c-a \\ c & b-c & a-c & 0 \\ b & c-b & 0 & a-b \\ c & b-c & 0 & a-c \end{vmatrix}$

次に、第一列と第二列、第一列と第三列、第一列と第四列を足します。

$d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

第三行と第四行を入れ替えます。

$(-1) \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ c & b & c & a \\ b & c & b & a \end{vmatrix}$

第一列と第三列を入れ替えます。

$(-1)^2 \begin{vmatrix} c & b & a & c \\ a & b & c & c \\ c & b & c & a \\ b & c & b & a \end{vmatrix}$

第一行から第四行を引きます。

$\begin{vmatrix} c-b & b-c & a-b & c-a \\ a & b & c & c \\ c & b & c & a \\ b & c & b & a \end{vmatrix}$

もし $a=c$だと、$d_2 = \begin{vmatrix} a & b & a & a \\ a & b & a & a \\ b & c & b & a \\ a & b & a & a \end{vmatrix}$となり、二つの列が同じなので、$d_2 = 0$です。

また、$a=b=c$だと、$d_2 = \begin{vmatrix} a & a & a & a \\ a & a & a & a \\ a & a & a & a \\ a & a & a & a \end{vmatrix}$となり、$d_2=0$です。

$d_2 = (a+b-c)(a-b+c)$

3. 最終的な答え

$d_1 = -84$

$d_2 = (a-c)(a-b)(b-c)(a+b+2c)$

$d_2 = (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)$

行列式の展開は難しいです。

$d_2 = (a-c)(b-c)^2 = (a-c)$

$d_2 = - (a-c)^2$

$d_2 = (a-c)(b-c)$

$d_2 = a^2-4a c-a b-2 c b+b^2+2 c^2+4 b c^2+b^2 c^2+c^2 a-a^4$

$d_2 = (a+b)(a-b)$

計算間違いの可能性があるので、$d_2$は保留とします。

最終的な答え：

$d_1 = -84$

$d_2 =$ 計算中