(1) $15x^2 + 2xy - y^2 + 32x - 44 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組を全て求めよ。 (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 + x - 3y - 35 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組を全て求めよ。

はい、承知しました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $15x^2 + 2xy - y^2 + 32x - 44 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組を全て求めよ。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 + x - 3y - 35 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた方程式は、$15x^2 + 2xy - y^2 + 32x - 44 = 0$ です。

$y$ についての方程式と見て整理します。

$y^2 - 2xy - 15x^2 - 32x + 44 = 0$

解の公式より

$y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4(-15x^2 - 32x + 44)}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 + 15x^2 + 32x - 44} = x \pm \sqrt{16x^2 + 32x - 44}$

根号の中が平方数になる必要があるので、$16x^2 + 32x - 44 = k^2$ （$k$ は整数）とおく。

$16x^2 + 32x - 44 = k^2$

$16(x^2 + 2x) - 44 = k^2$

$16(x^2 + 2x + 1) - 16 - 44 = k^2$

$16(x+1)^2 - 60 = k^2$

$16(x+1)^2 - k^2 = 60$

$(4(x+1) - k)(4(x+1) + k) = 60$

$(4x+4-k)(4x+4+k) = 60$

$4x+4-k = a, 4x+4+k = b$ とおくと、$ab=60$ かつ、$a+b=8x+8$ となる。

よって、$a+b$ は 8 で割り切れる必要がある。

$ab=60$ となる整数の組 $(a, b)$ は、

$(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10), (-1, -60), (-2, -30), (-3, -20), (-4, -15), (-5, -12), (-6, -10)$

$a+b$ が 8 で割り切れるものを探すと、

$(2, 30): a+b=32 = 8*4, x = 3$

$(6, 10): a+b=16 = 8*2, x = 1$

$(-2, -30): a+b=-32 = 8*(-4), x = -5$

$(-6, -10): a+b=-16 = 8*(-2), x = -3$

$x=3$ のとき、$y = 3 \pm \sqrt{16(3+1)^2 - 60} = 3 \pm \sqrt{16*16 - 60} = 3 \pm \sqrt{256-60} = 3 \pm \sqrt{196} = 3 \pm 14$. よって、$y=17, -11$.

$x=1$ のとき、$y = 1 \pm \sqrt{16(1+1)^2 - 60} = 1 \pm \sqrt{16*4 - 60} = 1 \pm \sqrt{64 - 60} = 1 \pm \sqrt{4} = 1 \pm 2$. よって、$y=3, -1$.

$x=-5$ のとき、$y = -5 \pm \sqrt{16(-5+1)^2 - 60} = -5 \pm \sqrt{16*16 - 60} = -5 \pm \sqrt{256-60} = -5 \pm \sqrt{196} = -5 \pm 14$. よって、$y=9, -19$.

$x=-3$ のとき、$y = -3 \pm \sqrt{16(-3+1)^2 - 60} = -3 \pm \sqrt{16*4 - 60} = -3 \pm \sqrt{64 - 60} = -3 \pm \sqrt{4} = -3 \pm 2$. よって、$y=-1, -5$.

(2)

$x^2 + 2xy + 2y^2 + x - 3y - 35 = 0$

$x^2 + (2y+1)x + 2y^2 - 3y - 35 = 0$

$x = \frac{-(2y+1) \pm \sqrt{(2y+1)^2 - 4(2y^2-3y-35)}}{2} = \frac{-2y-1 \pm \sqrt{4y^2 + 4y + 1 - 8y^2 + 12y + 140}}{2} = \frac{-2y-1 \pm \sqrt{-4y^2 + 16y + 141}}{2}$

根号の中が平方数になる必要があるので、$-4y^2 + 16y + 141 = k^2$ （$k$ は整数）とおく。

$-4(y^2 - 4y) + 141 = k^2$

$-4(y^2 - 4y + 4) + 16 + 141 = k^2$

$-4(y-2)^2 + 157 = k^2$

$157 - k^2 = 4(y-2)^2$

$157 - k^2$ は 4 の倍数になる必要がある。

$157 \equiv 1 \pmod{4}$ なので、$k^2 \equiv 1 \pmod{4}$ でなければならない。したがって、$k$ は奇数。

$k=1, 3, 5, 7, 9, 11$ を試すと、

$k=1: 157-1 = 156 = 4 * 39$. $(y-2)^2 = 39$, これはありえない。

$k=3: 157-9 = 148 = 4 * 37$. $(y-2)^2 = 37$, これはありえない。

$k=5: 157-25 = 132 = 4 * 33$. $(y-2)^2 = 33$, これはありえない。

$k=7: 157-49 = 108 = 4 * 27$. $(y-2)^2 = 27$, これはありえない。

$k=9: 157-81 = 76 = 4 * 19$. $(y-2)^2 = 19$, これはありえない。

$k=11: 157-121 = 36 = 4 * 9$. $(y-2)^2 = 9$. $y-2 = \pm 3$. よって、$y=5, -1$.

$y=5$ のとき、$x = \frac{-2*5-1 \pm \sqrt{-4*5^2 + 16*5 + 141}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{-100+80+141}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-11 \pm 11}{2}$. よって、$x=0, -11$.

$y=-1$ のとき、$x = \frac{-2*(-1)-1 \pm \sqrt{-4*(-1)^2 + 16*(-1) + 141}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-4-16+141}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{1 \pm 11}{2}$. よって、$x=6, -5$.

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (3, 17), (3, -11), (1, 3), (1, -1), (-5, 9), (-5, -19), (-3, -1), (-3, -5)$

(2) $(x, y) = (0, 5), (-11, 5), (6, -1), (-5, -1)$