与えられた多項式を因数分解する問題です。今回は、(3) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。今回は、(3) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + 5xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。これは、$(2x + y)(x + 2y)$ となります。

したがって、与式は

$(2x + y)(x + 2y) - 3y - 2$

となります。次に、式全体が因数分解できるように、定数項を調整します。

$(2x + y)(x + 2y)$ を展開すると、$2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 2x^2 + 5xy + 2y^2$ となります。

ここで、与式を以下のように変形することを考えます。

$(2x + y + a)(x + 2y + b)$

この式を展開すると、

$2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + ay + ax + 2ay + ab$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (a+2b)y + ab$

となります。これが $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$ と一致するためには、

$2b + a = 0$

$a + 4b = -3$

$ab = -2$

という3つの式が成り立てばよいです。

$a = -2b$ を $a + 4b = -3$ に代入すると、$-2b + 4b = -3$ なので、$2b = -3$ となり、$b = -3/2$

$a = -2b = -2 * (-3/2) = 3$

$a + 2b = 3 + 2(-3/2) = 0$.

したがって、今回の因数分解ではxの項が出てきてしまう。

別の方法を試す。

与式を $y$ について整理すると、

$2y^2 + (5x-3)y + 2x^2 - 2$

解の公式を用いる。

$y = \frac{-(5x-3) \pm \sqrt{(5x-3)^2 - 4 \times 2(2x^2 - 2)}}{2 \times 2}$

$y = \frac{-5x+3 \pm \sqrt{25x^2 - 30x + 9 - 16x^2 + 16}}{4}$

$y = \frac{-5x+3 \pm \sqrt{9x^2 - 30x + 25}}{4}$

$y = \frac{-5x+3 \pm \sqrt{(3x - 5)^2}}{4}$

$y = \frac{-5x+3 \pm (3x - 5)}{4}$

$y = \frac{-5x+3 + 3x - 5}{4} = \frac{-2x-2}{4} = \frac{-x-1}{2}$

$2y = -x-1, x + 2y + 1 = 0$

$y = \frac{-5x+3 - 3x + 5}{4} = \frac{-8x+8}{4} = -2x+2$

$y = -2x + 2, 2x + y -2 = 0$

したがって、$(x+2y+1)(2x+y-2) = 0$

3. 最終的な答え

$(x+2y+1)(2x+y-2)$