$x^3 = 1$ を満たす虚数の1つを $\omega$ とするとき、$\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x^3 = 1$ を満たす虚数の1つを $\omega$ とするとき、$\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\omega^3 = 1$ という条件を利用して、$\omega^{13}$ と $\omega^5$ を簡単にする。

$\omega^{13} = (\omega^3)^4 \cdot \omega = 1^4 \cdot \omega = \omega$

$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2$

したがって、与えられた式は次のように書き換えられる。

$\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1} = \frac{\omega - \omega^2 + 1}{\omega + 1}$

次に、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より $\omega^2 = - \omega - 1$ を得る。 これを代入する。

$\frac{\omega - (-\omega - 1) + 1}{\omega + 1} = \frac{\omega + \omega + 1 + 1}{\omega + 1} = \frac{2\omega + 2}{\omega + 1}$

さらに、分子を2でくくると、

$\frac{2(\omega + 1)}{\omega + 1}$

$\omega \neq -1$ なので、$\omega + 1 \neq 0$ であるから、約分できる。

$\frac{2(\omega + 1)}{\omega + 1} = 2$

3. 最終的な答え

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