問題は以下の通りです。 $x^3 = 1$ を満たす虚数の1つを $\omega$ とするとき、次の問いに答えよ。 (1) $\omega^3 = 1, \omega^2 + \omega + 1 = 0$ を示せ。 (2) $\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$x^3 = 1$ を満たす虚数の1つを $\omega$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\omega^3 = 1, \omega^2 + \omega + 1 = 0$ を示せ。

(2) $\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\omega$ は $x^3 = 1$ の解だから、$\omega^3 = 1$ は明らかです。

次に、$x^3 - 1 = 0$ を因数分解すると、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ となります。

$\omega$ は虚数であるから、$x^2 + x + 1 = 0$ の解です。よって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立ちます。

(2) まず、$\omega^{13}$ と $\omega^5$ を簡単にします。

$\omega^{13} = (\omega^3)^4 \cdot \omega = 1^4 \cdot \omega = \omega$

$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2$

よって、

$\omega^{13} - \omega^5 + 1 = \omega - \omega^2 + 1$

ここで、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 = -\omega - 1$ であるから、

$\omega - \omega^2 + 1 = \omega - (-\omega - 1) + 1 = \omega + \omega + 1 + 1 = 2\omega + 2 = 2(\omega + 1)$

したがって、

$\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1} = \frac{2(\omega + 1)}{\omega + 1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\omega^3 = 1, \omega^2 + \omega + 1 = 0$ (証明完了)

(2) 2