与えられた4次方程式 $-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = -3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15$ とおきます。

次に、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -12x^3 - 12x^2 + 24x = -12x(x^2 + x - 2) = -12x(x+2)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$x = -2, 0, 1$ となります。これらの値は極値を与える $x$ の候補です。

次に、$f(x)$ の増減表を作ります。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :---- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ |

$f(-2) = -3(-2)^4 - 4(-2)^3 + 12(-2)^2 - 15 = -3(16) - 4(-8) + 12(4) - 15 = -48 + 32 + 48 - 15 = 17$

$f(0) = -3(0)^4 - 4(0)^3 + 12(0)^2 - 15 = -15$

$f(1) = -3(1)^4 - 4(1)^3 + 12(1)^2 - 15 = -3 - 4 + 12 - 15 = -10$

したがって、

$x=-2$ のとき、極大値 $17$

$x=0$ のとき、極小値 $-15$

$x=1$ のとき、極大値 $-10$

グラフの概形を考えると、$x \to \pm \infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ なので、実数解は存在しないことがわかります。

なぜならば、関数は$x=-2$で極大値17をとり、$x=0$で極小値-15をとり、$x=1$で極大値-10を取ることから、$y=0$と交差することはないためです。

3. 最終的な答え

0