関数 $f(x) = x^2 - 6x + 1$ が、区間 $-2 \le x \le 3$ において取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 6x + 1$ が、区間 $-2 \le x \le 3$ において取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = x^2 - 6x + 1$ の最小値を求めます。平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$f(x) = (x-3)^2 - 8$

よって、頂点の座標は $(3, -8)$ です。

次に、定義域 $-2 \le x \le 3$ における関数の最大値と最小値を調べます。

頂点の $x$ 座標は $x=3$ であり、定義域に含まれています。したがって、$x=3$ において最小値 $f(3) = -8$ を取ります。

次に、定義域の端点における関数の値を求めます。

$x=-2$ のとき、$f(-2) = (-2)^2 - 6(-2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$

$x=3$ のとき、$f(3) = (3)^2 - 6(3) + 1 = 9 - 18 + 1 = -8$

したがって、区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値は $17$ で、最小値は $-8$ です。

よって、取りうる値の範囲は $-8 \le f(x) \le 17$ となります。

選択肢の中にこの範囲と一致するものがないため、問題文や選択肢に誤りがないか確認する必要があります。頂点の座標から最小値が$-8$であることは確かなので、最大値が17になるかを計算しなおします。

定義域の端点における関数の値を求めます。

$x=-2$ のとき、$f(-2) = (-2)^2 - 6(-2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$

$x=3$ のとき、$f(3) = (3)^2 - 6(3) + 1 = 9 - 18 + 1 = -8$

平方完成した式から、軸は $x=3$ なので、定義域の左端 $x=-2$ で最大値を取ります。

選択肢に $-8 \le f(x) \le 17$ がないため、近似的に近いものを探します。

$4\sqrt{2} \approx 5.66$、 $2-2\sqrt{2} \approx -0.83$、 $1-4\sqrt{2} \approx -4.66$、 $3\sqrt{2} \approx 4.24$

1の選択肢は $4\sqrt{2} \le f(x) \le 10$、つまり約 $5.66 \le f(x) \le 10$

2の選択肢は $2-2\sqrt{2} \le f(x) \le 8$、つまり約 $-0.83 \le f(x) \le 8$

3の選択肢は $1-4\sqrt{2} \le f(x) \le 2$、つまり約 $-4.66 \le f(x) \le 2$

4の選択肢は $3\sqrt{2} \le f(x) \le 10$、つまり約 $4.24 \le f(x) \le 10$

5の選択肢は $1-4\sqrt{2} \le f(x) \le 10$、つまり約 $-4.66 \le f(x) \le 10$

これらのうち、最小値 $-8$ を含むものは、2と3と5です。また、最大値 17 に最も近い上限を持つのは選択肢5です。したがって、選択肢5が最も可能性が高いと考えられます。

しかし、正確な範囲は $-8 \le f(x) \le 17$ であり、選択肢5は $-4.66 \le f(x) \le 10$ です。

最小値-8を含む範囲として、f(x)の最大値は17なので、選択肢はどれも正しいとは言えません。

3. 最終的な答え

与えられた選択肢の中に正しい答えはありません。本当の答えは$-8 \le f(x) \le 17$です。

しかし、最も近いのは5の選択肢です。