与えられた4次方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8$ とおきます。

微分して増減表を作成し、グラフを描くことで実数解の個数を調べます。

$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24 = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$

$f'(x) = 12(x^2(x-2) - (x-2)) = 12(x-2)(x^2-1) = 12(x-2)(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 1, 2$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 | ... |

|------|------|-----|-----|----|-----|----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

次に、極値を求めます。

$f(-1) = 3(-1)^4 - 8(-1)^3 - 6(-1)^2 + 24(-1) - 8 = 3 + 8 - 6 - 24 - 8 = -27$

$f(1) = 3(1)^4 - 8(1)^3 - 6(1)^2 + 24(1) - 8 = 3 - 8 - 6 + 24 - 8 = 5$

$f(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 - 6(2)^2 + 24(2) - 8 = 48 - 64 - 24 + 48 - 8 = 0$

極小値は $f(-1) = -27$, $f(2) = 0$ であり、極大値は $f(1) = 5$ です。

$f(2) = 0$ より、$x=2$ は実数解です。また、$f(-1) = -27 < 0$ で、$f(1) = 5 > 0$ なので、$-1 < x < 1$ の間に少なくとも１つの実数解が存在します。

$x < -1$ では、$f(x) \to \infty$ ($x \to -\infty$)であり、$f(-1) < 0$ なので、 $x < -1$ の範囲に少なくとも１つの実数解が存在します。

$1 < x < 2$ では、$f(1) = 5 > 0$ で、$f(2) = 0$ なので、この間に実数解はありません。

$x > 2$ では、$f(x) \to \infty$ ($x \to \infty$)であり、$f(2) = 0$ なので、 $x > 2$ に実数解はありません。

$f(x) = 0$ の実数解は、 $x = 2$ と、$-1 < x < 1$ の範囲の解、そして $x < -1$ の範囲の解が存在します。$f(-2) = 3(-2)^4 - 8(-2)^3 - 6(-2)^2 + 24(-2) - 8 = 48+64-24-48-8 = 32 > 0$ なので，$x<-1$の解は$-2<x<-1$に存在します。

増減表から、実数解は３つ存在すると考えられます。

しかし $x=2$ で $f(2)=0$なので、$f(x)$ は $(x-2)$ を因数に持ちます。

$f(x) = (x-2)(3x^3 - 2x^2 -10x + 4)$

$g(x) = 3x^3 - 2x^2 - 10x + 4$ とすると、$g(-1) = -3 - 2 + 10 + 4 = 9 > 0$ , $g(0) = 4 > 0$, $g(1) = 3-2-10+4 = -5 < 0$ より $0<x<1$ で１つ解を持ちます。

$g(2) = 24 - 8 - 20 + 4 = 0$

$g(x) = (x-2)(3x^2 + 4x - 2)$

よって、$f(x) = (x-2)^2(3x^2 + 4x - 2)$

$3x^2 + 4x - 2 = 0$ の解は $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{3}$

$x = \frac{-2 - \sqrt{10}}{3} \approx \frac{-2 - 3.16}{3} = -1.72$

$x = \frac{-2 + \sqrt{10}}{3} \approx \frac{-2 + 3.16}{3} = 0.39$

よって実数解は、2(重解), $\frac{-2-\sqrt{10}}{3}$, $\frac{-2+\sqrt{10}}{3}$ の3個。

3. 最終的な答え

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