(1) 次の2次方程式の実数解の個数を求める。(ア) $x^2-3x+1=0$、(イ) $x^2+6x-2k+1=0$ (kは定数) (2) 2次方程式 $x^2+2mx+3m+10=0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、その時の解を求める。

1. 問題の内容

(1) 次の2次方程式の実数解の個数を求める。(ア) $x^2-3x+1=0$、(イ) $x^2+6x-2k+1=0$ (kは定数)

(2) 2次方程式 $x^2+2mx+3m+10=0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、その時の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて実数解の個数を求める。

$D > 0$ のとき、実数解は2個。

$D = 0$ のとき、実数解は1個。

$D < 0$ のとき、実数解は0個。

(ア) $x^2-3x+1=0$ の場合、 $a=1, b=-3, c=1$ なので、

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$

よって、実数解は2個。

(イ) $x^2+6x-2k+1=0$ の場合、$a=1, b=6, c=-2k+1$ なので、

$D = (6)^2 - 4(1)(-2k+1) = 36 + 8k - 4 = 8k + 32$

実数解の個数は以下の通りとなる。

$D > 0$、つまり $8k + 32 > 0$ のとき、$k > -4$ で実数解は2個。

$D = 0$、つまり $8k + 32 = 0$ のとき、$k = -4$ で実数解は1個。

$D < 0$、つまり $8k + 32 < 0$ のとき、$k < -4$ で実数解は0個。

(2) 2次方程式 $x^2+2mx+3m+10=0$ が重解を持つとき、判別式 $D=0$ となる。

$a=1, b=2m, c=3m+10$ なので、

$D = (2m)^2 - 4(1)(3m+10) = 4m^2 - 12m - 40 = 0$

$m^2 - 3m - 10 = 0$

$(m-5)(m+2) = 0$

$m = 5, -2$

$m = 5$ のとき、$x^2 + 10x + 25 = 0$

$(x+5)^2 = 0$

$x = -5$

$m = -2$ のとき、$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 実数解は2個。 (イ) $k > -4$ のとき2個、$k = -4$ のとき1個、$k < -4$ のとき0個。

(2) $m = 5$ のとき、$x = -5$、$m = -2$ のとき、$x = 2$