与えられた3次方程式 $x^3 - 3x + 5 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 3x + 5 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 - 3x + 5$ を考える。この関数の導関数を求め、増減を調べることで実数解の個数を判断する。

まず、導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

$x = 1, -1$

$x = -1$ と $x = 1$ が極値を取る点の候補である。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$

$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$

$f(-1) = 7 > 0$ かつ $f(1) = 3 > 0$ であることから、関数 $f(x)$ は $x = -1$ で極大値をとり、$x = 1$ で極小値をとる。極大値と極小値がともに正であるため、$x^3 - 3x + 5 = 0$ は実数解を1つだけ持つ。

$x$ が非常に小さいとき、$f(x)$ は負の値を取るため、実数解が1つ存在することが確認できる。

3. 最終的な答え

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