与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2+3xy+2y^2+2x+3y+1$ (2) $2x^2-3xy+y^2+7x-5y+6$ (3) $2x^2+5xy+2y^2-3y-2$ (4) $2x^2-3xy-2y^2-5x+5y+3$

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+3xy+2y^2+2x+3y+1$

(2) $2x^2-3xy+y^2+7x-5y+6$

(3) $2x^2+5xy+2y^2-3y-2$

(4) $2x^2-3xy-2y^2-5x+5y+3$

2. 解き方の手順

各多項式を因数分解していきます。

(1) $x^2+3xy+2y^2+2x+3y+1$

まず、$x$について整理します。

$x^2 + (3y+2)x + (2y^2+3y+1)$

定数項を因数分解します。

$2y^2+3y+1 = (2y+1)(y+1)$

与式を因数分解します。

$x^2 + (3y+2)x + (2y+1)(y+1) = (x+(2y+1))(x+(y+1))$

$= (x+2y+1)(x+y+1)$

(2) $2x^2-3xy+y^2+7x-5y+6$

$x$について整理します。

$2x^2 + (-3y+7)x + (y^2-5y+6)$

定数項を因数分解します。

$y^2 - 5y + 6 = (y-2)(y-3)$

たすき掛けを考えます。

$2x^2 + (-3y+7)x + (y-2)(y-3)$

$(2x - (y-2))(x - (y-3))$

$(2x - y + 2)(x - y + 3)$

(3) $2x^2+5xy+2y^2-3y-2$

$2x^2+5xy+2y^2 = (2x+y)(x+2y)$

$2x^2+5xy+2y^2-3y-2 = (2x+y+A)(x+2y+B)$とおくと

$AB = -2$

$2A+B=0$

$B=-2A$

$A(-2A)=-2$

$A^2=1$

$A=1$の時、$B=-2$

$A=-1$の時、$B=2$

$2x^2+5xy+2y^2-3y-2=(2x+y)(x+2y)-3y-2 = (2x+y+A)(x+2y+B)$から

$A=1, B=-2$が候補

$(2x+y+1)(x+2y-2)$

これを展開すると、$2x^2 + 4xy - 4x + xy + 2y^2 - 2y + x + 2y - 2 = 2x^2+5xy+2y^2-3x$となり、-3xが出てくるので違う。

$2x^2+5xy+2y^2-3y-2 = (2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2+5xy+2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

したがって、$2b+a=0$および$b+2a=-3$および$ab=-2$

$a=-2b$

$b-4b=-3$

$-3b=-3$

$b=1$

$a=-2$

$(2x+y-2)(x+2y+1)$

(4) $2x^2-3xy-2y^2-5x+5y+3$

$x$について整理します。

$2x^2+(-3y-5)x+(-2y^2+5y+3)$

定数項を因数分解します。

$-2y^2+5y+3 = -(2y+1)(y-3)$

したがって、$2x^2+(-3y-5)x-(2y+1)(y-3)$を因数分解します。

$(2x+(y-3))(x-(2y+1))$

$(2x+y-3)(x-2y-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y+1)(x+y+1)$

(2) $(2x-y+2)(x-y+3)$

(3) $(2x+y-2)(x+2y+1)$

(4) $(2x+y-3)(x-2y-1)$