(1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。ただし、(イ)の $k$ は定数とする。 (ア) $x^2 - 3x + 1 = 0$ (イ) $x^2 + 6x - 2k + 1 = 0$ (2) $x$ の2次方程式 $x^2 + 2mx + 3m + 10 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求めよ。また、そのときの方程式の解を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。ただし、(イ)の $k$ は定数とする。

(ア) $x^2 - 3x + 1 = 0$

(イ) $x^2 + 6x - 2k + 1 = 0$

(2) $x$ の2次方程式 $x^2 + 2mx + 3m + 10 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求めよ。また、そのときの方程式の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)(ア) 2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$

判別式が正なので、実数解は2個。

(1)(イ) 2次方程式 $x^2 + 6x - 2k + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = 6^2 - 4(1)(-2k+1) = 36 + 8k - 4 = 8k + 32$

実数解の個数は、

$D > 0$ のとき 2個、つまり $8k + 32 > 0$ より $k > -4$ のとき2個。

$D = 0$ のとき 1個、つまり $8k + 32 = 0$ より $k = -4$ のとき1個。

$D < 0$ のとき 0個、つまり $8k + 32 < 0$ より $k < -4$ のとき0個。

(2) 2次方程式 $x^2 + 2mx + 3m + 10 = 0$ が重解を持つとき、判別式を $D$ とすると $D = 0$ となる。

$D = (2m)^2 - 4(1)(3m+10) = 4m^2 - 12m - 40 = 4(m^2 - 3m - 10) = 4(m-5)(m+2)$

$D = 0$ より、 $4(m-5)(m+2) = 0$ よって $m = 5, -2$

$m = 5$ のとき、 $x^2 + 10x + 25 = 0$ より、 $(x+5)^2 = 0$ となるので、$x = -5$

$m = -2$ のとき、 $x^2 - 4x + 4 = 0$ より、 $(x-2)^2 = 0$ となるので、$x = 2$

3. 最終的な答え

(1)(ア) 実数解の個数：2個

(1)(イ) 実数解の個数： $k > -4$ のとき2個、$k = -4$ のとき1個、$k < -4$ のとき0個。

(2) $m = 5$ のとき $x = -5$, $m = -2$ のとき $x = 2$