与えられた行列 $A$ の行列式の値 $|A|$、余因子行列 $\tilde{A}$、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式の値 $|A|$、余因子行列 $\tilde{A}$、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) - 4(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + (-3)(2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1)) \\ = 1(4 + 3) - 4(4 + 1) - 3(-6 + 2) \\ = 7 - 20 - 3(-4) \\ = 7 - 20 + 12 = -1$

次に、余因子行列 $\tilde{A}$ を計算します。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列式の符号付きの値です。

$C_{11} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3) = 4 + 3 = 7$

$C_{12} = -(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -(4 + 1) = -5$

$C_{13} = 2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1) = -6 + 2 = -4$

$C_{21} = -(4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3)) = -(8 - 9) = 1$

$C_{22} = 1 \cdot 2 - (-3) \cdot (-1) = 2 - 3 = -1$

$C_{23} = -(1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1)) = -(-3 + 4) = -1$

$C_{31} = 4 \cdot 1 - (-3) \cdot 2 = 4 + 6 = 10$

$C_{32} = -(1 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) = -(1 + 6) = -7$

$C_{33} = 1 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 2 - 8 = -6$

したがって、余因子行列 $\tilde{A}$ は

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ を計算します。 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}^T$

$\tilde{A}^T = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列式の値 $|A| = -1$

余因子行列 $\tilde{A} = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$