2次式 $3x^2 - 4x - 1$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

2次式 $3x^2 - 4x - 1$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 - 4x - 1 = 0$ という2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

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x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

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この場合、$a = 3$, $b = -4$, $c = -1$ なので、

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x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

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よって、$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ が解となります。

因数分解の形は $a(x - x_1)(x - x_2)$ であり、$a = 3$ なので、

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3\left(x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) = 3\left(x - \frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2-\sqrt{7}}{3}\right)

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= (3x - (2 + \sqrt{7}))(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) = (3x - 2 - \sqrt{7})(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3})

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= (x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3})(3x - (2 - \sqrt{7})) = (x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3})(3x - 2 + \sqrt{7})

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(3x - (2 + \sqrt{7}))(3x - (2 - \sqrt{7})) \times \frac{1}{3}

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3\left(x - \frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2-\sqrt{7}}{3}\right)

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\left(x-\frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt{7}}{3}\right)

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= (3x-(2+\sqrt{7}))(x - (2-\sqrt{7})/3)

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2. 最終的な答え

$3\left(x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right)$

または、

$(3x - 2 - \sqrt{7})(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3})$

または、

$(3x - 2 - \sqrt{7})(3x - 2 + \sqrt{7})/3$

または、

$(x - \frac{2+\sqrt{7}}{3})(3x - 2 + \sqrt{7})$