3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 1 + a = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 1 + a = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$2x^3 - 3x^2 - 1 = -a$

ここで、$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1$ とおくと、この関数のグラフと直線 $y = -a$ の交点の個数が、方程式の実数解の個数に対応します。

次に、$f(x)$ の増減を調べます。

$f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :---- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | -1 | ↓ | -2 | ↑ |

$f(0) = -1$

$f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 = 2 - 3 - 1 = -2$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で極大値 $-1$ をとり、$x=1$ で極小値 $-2$ をとります。

$y = f(x)$ のグラフと $y = -a$ の交点の個数を調べます。

- $-a > -1$ つまり $a < 1$ のとき、実数解は1個。

- $-a = -1$ つまり $a = 1$ のとき、実数解は2個。

- $-2 < -a < -1$ つまり $1 < a < 2$ のとき、実数解は3個。

- $-a = -2$ つまり $a = 2$ のとき、実数解は2個。

- $-a < -2$ つまり $a > 2$ のとき、実数解は1個。

3. 最終的な答え

- $a < 1$, $a > 2$ のとき、実数解は1個。

- $a = 1$, $a = 2$ のとき、実数解は2個。

- $1 < a < 2$ のとき、実数解は3個。