## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題のうち、42番の連立方程式(1)と43番の(1)(ア)、(1)(イ)、(2)を解きます。

連立方程式

$\begin{cases} x+y=5 \\ x^2+y^2=17 \end{cases}$

を解く。

二次方程式

$x^2 - 3x + 1 = 0$

の実数解の個数を求める。

二次方程式

$x^2 + 6x - 2k + 1 = 0$

の実数解の個数を求める。ただし、$k$は定数。

二次方程式

$x^2 + 2mx + 3m + 10 = 0$

が重解をもつとき、定数$m$の値を求め、そのときの方程式の解を求める。

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2. 解き方の手順

**42.(1) 連立方程式**

1. $x + y = 5$より、$y = 5 - x$

2. これを$x^2 + y^2 = 17$に代入すると、

$x^2 + (5 - x)^2 = 17$

3. 展開して整理すると、

$x^2 + 25 - 10x + x^2 = 17$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

4. 因数分解すると、

$(x - 1)(x - 4) = 0$

5. よって、$x = 1$または$x = 4$

6. $x = 1$のとき、$y = 5 - 1 = 4$

7. $x = 4$のとき、$y = 5 - 4 = 1$

**43.(1)(ア) 二次方程式の解の個数**

1. 二次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の判別式$D$は、$D = b^2 - 4ac$で与えられる。

2. $D > 0$のとき、実数解は2個

3. $D = 0$のとき、実数解は1個(重解)

4. $D < 0$のとき、実数解は0個

5. $x^2 - 3x + 1 = 0$の判別式$D$は、$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$

6. $D = 5 > 0$なので、実数解は2個

**43.(1)(イ) 二次方程式の解の個数**

1. $x^2 + 6x - 2k + 1 = 0$の判別式$D$は、$D = 6^2 - 4(1)(-2k + 1) = 36 + 8k - 4 = 8k + 32$

2. $D > 0$となるのは、$8k + 32 > 0$つまり、$k > -4$のとき、実数解は2個

3. $D = 0$となるのは、$8k + 32 = 0$つまり、$k = -4$のとき、実数解は1個(重解)

4. $D < 0$となるのは、$8k + 32 < 0$つまり、$k < -4$のとき、実数解は0個

**43.(2) 二次方程式が重解を持つ条件**

1. $x^2 + 2mx + 3m + 10 = 0$が重解を持つとき、判別式$D = 0$

2. $D = (2m)^2 - 4(1)(3m + 10) = 4m^2 - 12m - 40 = 0$

3. $m^2 - 3m - 10 = 0$

4. $(m - 5)(m + 2) = 0$

5. よって、$m = 5$または$m = -2$

6. $m = 5$のとき、$x^2 + 10x + 25 = 0$

$(x + 5)^2 = 0$

$x = -5$

7. $m = -2$のとき、$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

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3. 最終的な答え

42.(1)

$(x, y) = (1, 4), (4, 1)$

43.(1)(ア)

実数解の個数は2個

43.(1)(イ)

$k > -4$のとき、実数解は2個

$k = -4$のとき、実数解は1個

$k < -4$のとき、実数解は0個

43.(2)

$m = 5$のとき、$x = -5$

$m = -2$のとき、$x = 2$