次の連立方程式を解きます。 $\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases}$

## 問題42 (1)

1. 問題の内容

次の連立方程式を解きます。

$\begin{cases}

x + y = 5 \\

x^2 + y^2 = 17

\end{cases}$

2. 解き方の手順

一つ目の式から $y = 5 - x$ を得ます。これを二つ目の式に代入します。

$x^2 + (5 - x)^2 = 17$

$x^2 + (25 - 10x + x^2) = 17$

$2x^2 - 10x + 25 = 17$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = 4$ です。

$x = 1$ のとき、$y = 5 - 1 = 4$

$x = 4$ のとき、$y = 5 - 4 = 1$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (1, 4), (4, 1)$

## 問題43 (1) (ア)

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の実数解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

$D > 0$ ならば実数解は2個、

$D = 0$ ならば実数解は1個 (重解)、

$D < 0$ ならば実数解は0個、

となります。

この問題の場合、$a = 1, b = -3, c = 1$ なので、

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$

したがって、実数解は2個です。

3. 最終的な答え

2個

## 問題43 (1) (イ)

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 6x - 2k + 1 = 0$ の実数解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

この問題の場合、$a = 1, b = 6, c = -2k + 1$ なので、

$D = (6)^2 - 4(1)(-2k + 1) = 36 + 8k - 4 = 8k + 32$

$8k + 32 > 0$ のとき、$k > -4$ ならば実数解は2個、

$8k + 32 = 0$ のとき、$k = -4$ ならば実数解は1個、

$8k + 32 < 0$ のとき、$k < -4$ ならば実数解は0個。

3. 最終的な答え

$k > -4$ のとき2個

$k = -4$ のとき1個

$k < -4$ のとき0個

## 問題43 (2)

1. 問題の内容

$x$ の二次方程式 $x^2 + 2mx + 3m + 10 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求め、また、そのときの方程式の解を求めます。

2. 解き方の手順

二次方程式が重解を持つためには、判別式 $D = 0$ である必要があります。

$D = (2m)^2 - 4(1)(3m + 10) = 4m^2 - 12m - 40 = 0$

$m^2 - 3m - 10 = 0$

$(m - 5)(m + 2) = 0$

したがって、$m = 5$ または $m = -2$ です。

$m = 5$ のとき、方程式は $x^2 + 10x + 25 = 0$ となり、 $(x + 5)^2 = 0$ より $x = -5$ (重解)

$m = -2$ のとき、方程式は $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、 $(x - 2)^2 = 0$ より $x = 2$ (重解)

3. 最終的な答え

$m = 5$ のとき、$x = -5$

$m = -2$ のとき、$x = 2$

## 問題44 (1)

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $x^2 - 2ax + a^2 + a - 5 = 0$ が実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

実数解を持つためには、判別式 $D \geq 0$ である必要があります。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 + a - 5) = 4a^2 - 4a^2 - 4a + 20 = -4a + 20$

$-4a + 20 \geq 0$

$-4a \geq -20$

$a \leq 5$

3. 最終的な答え

$a \leq 5$

## 問題44 (2)

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $ax^2 - (2a - 3)x + a = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a = 0$ のとき、$3x = 0$ より $x = 0$ となり、解は一つなので、$a \neq 0$ である必要があります。

次に、異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-(2a - 3))^2 - 4(a)(a) = (2a - 3)^2 - 4a^2 = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 = -12a + 9$

$-12a + 9 > 0$

$-12a > -9$

$a < \frac{9}{12}$

$a < \frac{3}{4}$

$a \neq 0$ と合わせて考えると、$a < \frac{3}{4}$ かつ $a \neq 0$

3. 最終的な答え

$a < \frac{3}{4}, a \neq 0$