次の連立方程式を解きます。 $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 + x - y = 4 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立方程式を解きます。

$\begin{cases}

x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\

x^2 + y^2 + x - y = 4

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1番目の式を因数分解します。

$x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y) = 0$

したがって、$x = y$ または $x = 2y$ です。

(i) $x = y$ のとき、2番目の式に代入します。

$y^2 + y^2 + y - y = 4$

$2y^2 = 4$

$y^2 = 2$

$y = \pm \sqrt{2}$

$x = y$ なので、$x = \pm \sqrt{2}$ です。

よって、解は $(x, y) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$

(ii) $x = 2y$ のとき、2番目の式に代入します。

$(2y)^2 + y^2 + 2y - y = 4$

$4y^2 + y^2 + y = 4$

$5y^2 + y - 4 = 0$

$(5y - 4)(y + 1) = 0$

$y = \frac{4}{5}$ または $y = -1$

$x = 2y$ なので、$x = \frac{8}{5}$ または $x = -2$ です。

よって、解は $(x, y) = (\frac{8}{5}, \frac{4}{5}), (-2, -1)$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}), (\frac{8}{5}, \frac{4}{5}), (-2, -1)$