(1) $\begin{cases} -2x - 3y = 8 \\ 6x + 5y = -16 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 7x + 9y = 12 \\ 4x + 3y = 9 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 5x - 3y = -11 \\ 3x + 7y = 11 \end{cases}$ (4) $\begin{cases} 3x - 2y = 2 \\ -4x + 5y = -12 \end{cases}$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

1. 加減法による連立方程式を解く問題が4問あります。

(1) $\begin{cases} -2x - 3y = 8 \\ 6x + 5y = -16 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} 7x + 9y = 12 \\ 4x + 3y = 9 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} 5x - 3y = -11 \\ 3x + 7y = 11 \end{cases}$

(4) $\begin{cases} 3x - 2y = 2 \\ -4x + 5y = -12 \end{cases}$

2. 加減法による連立方程式を解く問題が2問あります。

(1) $\begin{cases} -9x + 7y = 1 \\ 8x - 5y = 4 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} 4x - 3y = -16 \\ -6x - 2y = -15 \end{cases}$

3. 一次方程式 $x+3y=21$ の解 $(x, y)$ を求める問題です。ただし、$x$と$y$は1桁の自然数であり、$x < y$を満たします。

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2. 解き方の手順

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1. (1)

* 1番目の式を3倍すると、$\begin{cases} -6x - 9y = 24 \\ 6x + 5y = -16 \end{cases}$ となります。

* 2つの式を足すと、$x$が消去されます: $-4y = 8$

* $y = -2$

* $y = -2$ を1番目の式に代入すると、$-2x - 3(-2) = 8 \implies -2x + 6 = 8 \implies -2x = 2$

* $x = -1$

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1. (2)

* 2番目の式を3倍すると、$\begin{cases} 7x + 9y = 12 \\ 12x + 9y = 27 \end{cases}$ となります。

* 2番目の式から1番目の式を引くと、$x$が求まります: $5x = 15$

* $x = 3$

* $x = 3$ を1番目の式に代入すると、$7(3) + 9y = 12 \implies 21 + 9y = 12 \implies 9y = -9$

* $y = -1$

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1. (3)

* 1番目の式を7倍すると、$35x - 21y = -77$

* 2番目の式を3倍すると、$9x + 21y = 33$

* 2つの式を足すと、$x$が求まります: $44x = -44$

* $x = -1$

* $x = -1$ を2番目の式に代入すると、$3(-1) + 7y = 11 \implies -3 + 7y = 11 \implies 7y = 14$

* $y = 2$

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1. (4)

* 1番目の式を4倍すると、$12x - 8y = 8$

* 2番目の式を3倍すると、$-12x + 15y = -36$

* 2つの式を足すと、$y$が求まります: $7y = -28$

* $y = -4$

* $y = -4$ を1番目の式に代入すると、$3x - 2(-4) = 2 \implies 3x + 8 = 2 \implies 3x = -6$

* $x = -2$

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2. (1)

* 1番目の式を5倍すると、$-45x + 35y = 5$

* 2番目の式を7倍すると、$56x - 35y = 28$

* 2つの式を足すと、$x$が求まります: $11x = 33$

* $x = 3$

* $x = 3$ を1番目の式に代入すると、$-9(3) + 7y = 1 \implies -27 + 7y = 1 \implies 7y = 28$

* $y = 4$

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2. (2)

* 1番目の式を3倍すると、$12x - 9y = -48$

* 2番目の式を2倍すると、$-12x - 4y = -30$

* 2つの式を足すと、$y$が求まります: $-13y = -78$

* $y = 6$

* $y = 6$ を1番目の式に代入すると、$4x - 3(6) = -16 \implies 4x - 18 = -16 \implies 4x = 2$

* $x = \frac{1}{2}$

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3. * $x + 3y = 21$

* $x$ と $y$ は1桁の自然数なので、$1 \le x \le 9$ と $1 \le y \le 9$

* また、$x < y$

* $x = 21 - 3y$ より、$21 - 3y > 0$ なので、$3y < 21$ つまり、$y < 7$

* したがって、$1 \le y \le 6$

* $y = 1$ のとき、$x = 21 - 3 = 18$ (不適)

* $y = 2$ のとき、$x = 21 - 6 = 15$ (不適)

* $y = 3$ のとき、$x = 21 - 9 = 12$ (不適)

* $y = 4$ のとき、$x = 21 - 12 = 9$ 、$x < y$を満たさないので不適

* $y = 5$ のとき、$x = 21 - 15 = 6$ 、$x < y$を満たすので適する

* $y = 6$ のとき、$x = 21 - 18 = 3$ 、$x < y$を満たすので適する

* したがって、$(x, y) = (6, 5), (3, 6)$

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3. 最終的な答え

1. (1) $x = -1, y = -2$

(2) $x = 3, y = -1$

(3) $x = -1, y = 2$

(4) $x = -2, y = -4$

2. (1) $x = 3, y = 4$

(2) $x = \frac{1}{2}, y = 6$

3. $(x, y) = (3, 6), (6, 5)$