$a > 0$、$b > 0$のとき、$(a + \frac{8}{b})(b + \frac{2}{a})$の最小値と、最小値をとる$a$、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$、$b > 0$のとき、$(a + \frac{8}{b})(b + \frac{2}{a})$の最小値と、最小値をとる$a$、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a + \frac{8}{b})(b + \frac{2}{a}) = ab + 2 + 8 + \frac{16}{ab} = ab + \frac{16}{ab} + 10$

相加平均と相乗平均の関係より、$x > 0$のとき、$x + \frac{1}{x} \geq 2$が成り立ちます。

この不等式の等号成立条件は$x = 1$です。

ここで、$x = \frac{ab}{4}$とすると、$\frac{1}{x} = \frac{4}{ab}$となり、$x + \frac{1}{x} = \frac{ab}{4} + \frac{4}{ab}$

$ab + \frac{16}{ab} = 4(\frac{ab}{4} + \frac{4}{ab})$

相加相乗平均の関係から、$\frac{ab}{4} + \frac{4}{ab} \geq 2$が成り立ちます。等号成立条件は$\frac{ab}{4} = \frac{4}{ab}$。つまり$(ab)^2 = 16$より、$ab = 4$です（$a>0,b>0$より、$ab > 0$）。

よって、$ab + \frac{16}{ab} \geq 4(2) = 8$。

したがって、$ab + \frac{16}{ab} + 10 \geq 8 + 10 = 18$

最小値をとる条件は、$ab = 4$です。

$(a + \frac{8}{b})(b + \frac{2}{a})$が最小値をとるとき、$ab = 4$です。

3. 最終的な答え

最小値は18です。

最小値をとるのは、$ab = 4$のときです。