座標平面上に2点 $P(t, t^2)$ と $Q(t-5, t^2-4t+2)$ がある。$t$ が $1 \le t \le 3$ の範囲を動くとき、以下の問いに答えよ。 (1) 線分 $PQ$ を表す直線の方程式および定義域を、$t$ を用いて表せ。 (2) 線分 $PQ$ が通過する範囲 $D$ を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 $P(t, t^2)$ と $Q(t-5, t^2-4t+2)$ がある。$t$ が $1 \le t \le 3$ の範囲を動くとき、以下の問いに答えよ。

(1) 線分 $PQ$ を表す直線の方程式および定義域を、$t$ を用いて表せ。

(2) 線分 $PQ$ が通過する範囲 $D$ を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線 $PQ$ の傾きを求める。

傾き $m$ は

$m = \frac{(t^2 - 4t + 2) - t^2}{(t - 5) - t} = \frac{-4t + 2}{-5} = \frac{4t - 2}{5}$

次に、点 $P(t, t^2)$ を通る直線の方程式を立てる。

$y - t^2 = \frac{4t - 2}{5} (x - t)$

$y = \frac{4t - 2}{5} x - \frac{4t^2 - 2t}{5} + t^2$

$y = \frac{4t - 2}{5} x + \frac{5t^2 - 4t^2 + 2t}{5}$

$y = \frac{4t - 2}{5} x + \frac{t^2 + 2t}{5}$

線分 $PQ$ なので、定義域は $x$ 座標の範囲となる。

$t-5 \le x \le t$

ここで、$1 \le t \le 3$ である。

(2)

(1) で求めた直線の方程式を $t$ について整理する。

$5y = (4t - 2)x + t^2 + 2t$

$t^2 + (4x + 2)t - (5y + 2x) = 0$

$t$ が $1 \le t \le 3$ の範囲で実数解を持つ条件を考える。

$f(t) = t^2 + (4x + 2)t - (5y + 2x) = 0$

判別式 $D \ge 0$

$D = (4x + 2)^2 + 4(5y + 2x) = 16x^2 + 16x + 4 + 20y + 8x = 16x^2 + 24x + 20y + 4 \ge 0$

$20y \ge -16x^2 - 24x - 4$

$y \ge -\frac{4}{5} x^2 - \frac{6}{5} x - \frac{1}{5}$

また、$f(1) = 1 + 4x + 2 - 5y - 2x = 2x - 5y + 3$, $f(3) = 9 + 12x + 6 - 5y - 2x = 10x - 5y + 15$.

$f(1) \le 0$ かつ $f(3) \ge 0$, または $f(1) \ge 0$ かつ $f(3) \le 0$ の場合を考える。

$f(1) = 2x - 5y + 3 = 0$ つまり $y = \frac{2}{5}x + \frac{3}{5}$

$f(3) = 10x - 5y + 15 = 0$ つまり $y = 2x + 3$

$t-5 \le x \le t$ と $1 \le t \le 3$ から $-4 \le x \le 3$.

3. 最終的な答え

(1) 直線の方程式: $y = \frac{4t - 2}{5} x + \frac{t^2 + 2t}{5}$

定義域: $t - 5 \le x \le t$

(2) $y \ge -\frac{4}{5} x^2 - \frac{6}{5} x - \frac{1}{5}$ かつ $-4 \le x \le 3$

さらに、$y \ge \frac{2}{5} x + \frac{3}{5}$ と $y \le 2x+3$ で囲まれた範囲。

（図示は省略）