与えられた4次方程式 $-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = -3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15$ とおきます。

実数解の個数を調べるために、微分を用いて関数の増減を調べます。

$f'(x) = -12x^3 - 12x^2 + 24x = -12x(x^2 + x - 2) = -12x(x+2)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = -2, 0, 1$ です。

これらの値に基づいて増減表を作成します。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|------|------|------|-----|------|-----|------|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

極大値:

$f(-2) = -3(-2)^4 - 4(-2)^3 + 12(-2)^2 - 15 = -3(16) - 4(-8) + 12(4) - 15 = -48 + 32 + 48 - 15 = 17$

$f(1) = -3(1)^4 - 4(1)^3 + 12(1)^2 - 15 = -3 - 4 + 12 - 15 = -10$

極小値:

$f(0) = -3(0)^4 - 4(0)^3 + 12(0)^2 - 15 = -15$

$f(x)$ は $x = -2$ で極大値 $17$ をとり、$x = 0$ で極小値 $-15$ をとり、$x = 1$ で極大値 $-10$ をとります。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

$f(x)=0$ の実数解の個数は、$f(x)$ のグラフと x軸との交点の個数に等しいです。

$f(-2) = 17 > 0$

$f(0) = -15 < 0$

$f(1) = -10 < 0$

$x<-2$ では$f(x)$は減少関数であり、$-\infty$に向かうため、この区間には解が存在しない。

$-2<x<0$ の区間で、$f(x)$は減少関数で、$f(-2)=17$から$f(0)=-15$に変化するため、この区間に１つ解を持つ。

$0<x<1$ の区間で、$f(x)$は増加関数で、$f(0)=-15$から$f(1)=-10$に変化するため、この区間に解は存在しない。

$x>1$ の区間で、$f(x)$は減少関数であり、$-\infty$に向かうため、この区間には解は存在しない。

したがって、異なる実数解の個数は 1個 です。

3. 最終的な答え

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