数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

一般項を $a_k$ とすると、$a_k = k^2(n-k+1)$ と表せます。

数列の和 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k^2(n-k+1)$

と表せます。

$S = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2)$

$S = n \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$S = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

なので、

$S = (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S = \frac{n(n+1)^2}{12} [2(2n+1) - 3n]$

$S = \frac{n(n+1)^2}{12} (4n+2 - 3n)$

$S = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$