与えられた2つの行列式の値を計算します。行列式 $d_1$ は数値で構成され、行列式 $d_2$ は変数 $a, b, c$ で構成されています。特に、$d_2$ の値は因数分解した形で答える必要があります。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式の値を計算します。行列式 $d_1$ は数値で構成され、行列式 $d_2$ は変数 $a, b, c$ で構成されています。特に、$d_2$ の値は因数分解した形で答える必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $d_1$ の計算

行列式 $d_1$ は、

$d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

まず、第1行に第2行を加えます（$R_1 \leftarrow R_1 + R_2$）。

$d_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

次に、第4行から第2行の2倍を引きます（$R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2$）。

$d_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & 7 \end{vmatrix}$

第1列で余因子展開します。

$d_1 = (-1)^{2+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ 0 & 10 & 7 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ 0 & 10 & 7 \end{vmatrix}$

次に、この3x3行列式を計算します。

$d_1 = - (1 \cdot (5 \cdot 7 - 2 \cdot 10) - 1 \cdot (3 \cdot 7 - 2 \cdot 0) + 3 \cdot (3 \cdot 10 - 5 \cdot 0)) = - (1 \cdot (35 - 20) - 1 \cdot (21 - 0) + 3 \cdot (30 - 0)) = - (15 - 21 + 90) = - (84) = -84$

(2) 行列式 $d_2$ の計算

行列式 $d_2$ は、

$d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

まず、1列目から2列目、3列目、4列目を引きます。

$d_2 = \begin{vmatrix} a-b-c-c & b & c & c \\ c-b-a-c & b & a & c \\ b-c-b-a & c & b & a \\ c-b-c-a & b & c & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a-b-2c & b & c & c \\ c-b-a-c & b & a & c \\ b-c-b-a & c & b & a \\ c-b-c-a & b & c & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a-b-2c & b & c & c \\ -b-a & b & a & c \\ -c-a & c & b & a \\ -b-a & b & c & a \end{vmatrix}$

ここで、全ての列を足し合わせる操作を考えます。

全ての列を足し合わせた $a+b+c$ を作り出すために, 第1列に第2, 3, 4列を加算します。

$d_2 = \begin{vmatrix} a+b+c & b & c & c \\ a+b+c & b & a & c \\ a+b+c & c & b & a \\ a+b+c & b & c & a \end{vmatrix} = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c & c \\ 1 & b & a & c \\ 1 & c & b & a \\ 1 & b & c & a \end{vmatrix}$

次に, 2, 3, 4行から1行目を引きます.

$d_2 = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c & c \\ 0 & 0 & a-c & 0 \\ 0 & c-b & b-c & a-c \\ 0 & 0 & 0 & a-c \end{vmatrix}$

ここで第1列に関して余因子展開を行います。

$d_2 = (a+b+c) \begin{vmatrix} 0 & a-c & 0 \\ c-b & b-c & a-c \\ 0 & 0 & a-c \end{vmatrix}$

さらに余因子展開を行うと

$d_2 = (a+b+c) (a-c) \begin{vmatrix} 0 & a-c \\ c-b & b-c \end{vmatrix} = (a+b+c) (a-c) (0 - (a-c)(c-b)) = (a+b+c) (a-c)^2 (b-c)$.

3. 最終的な答え

(1) $d_1 = -84$

(2) $d_2 = (a+b+c)(a-c)^2(b-c)$