直方体の水そうAには排水管があり、水を排出すると一定の割合で水面の高さが低くなる。グラフは、水そうAから水を排出し始めてからの時間と底から水面までの高さの関係を表している。(1)水そうAから水を排出し始めてから8分後の水面の高さを求める。(2)空の直方体水そうBには給水管があり、水面の高さは毎分5cmずつ高くなる。水そうAから水を排出し始めてから4分後に水そうBに水を入れ始める。水そうAから水を排出し始めて4分後から20分後までの間で、2つの水そうの底から水面までの高さが等しくなったのは、水そうAから水を排出し始めてから何分後かを求める過程を説明する。

1. 問題の内容

直方体の水そうAには排水管があり、水を排出すると一定の割合で水面の高さが低くなる。グラフは、水そうAから水を排出し始めてからの時間と底から水面までの高さの関係を表している。(1)水そうAから水を排出し始めてから8分後の水面の高さを求める。(2)空の直方体水そうBには給水管があり、水面の高さは毎分5cmずつ高くなる。水そうAから水を排出し始めてから4分後に水そうBに水を入れ始める。水そうAから水を排出し始めて4分後から20分後までの間で、2つの水そうの底から水面までの高さが等しくなったのは、水そうAから水を排出し始めてから何分後かを求める過程を説明する。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、水そうAの高さは60cmで、20分で水がなくなる。

1分あたりに下がる水の高さは、

$\frac{60}{20} = 3$ cm

よって、水そうAから水を排出し始めてから$x$分後の水面の高さ$y$は、

$y = 60 - 3x$

$x=8$を代入して、

$y = 60 - 3 \times 8 = 60 - 24 = 36$ cm

(2)

水そうAから水を排出し始めてから$x$分後の水面の高さ$y_A$は、$y_A = 60 - 3x$

水そうBは水そうAから水を排出し始めてから4分後に水を入れ始めるので、水そうBに水を入れ始めてから$(x-4)$分後の水面の高さ$y_B$は、

$y_B = 5(x-4) = 5x - 20$

2つの水そうの高さが等しくなる時、$y_A = y_B$なので、

$60 - 3x = 5x - 20$

$8x = 80$

$x = 10$

よって、水そうAから水を排出し始めてから10分後に、2つの水そうの底から水面までの高さが等しくなる。

3. 最終的な答え

(1) 36 cm

(2) 水そうAから水を排出し始めてから10分後

水そうAから水を排出し始めてから$x$分後の水面の高さを$y_A$とすると、$y_A = 60 - 3x$

水そうBは水そうAから水を排出し始めてから4分後に水を入れ始めるので、水そうBに水を入れ始めてから$(x-4)$分後の水面の高さを$y_B$とすると、$y_B = 5(x-4)$

$y_A = y_B$となる$x$を求めると、$x=10$ となる。