曲線 $y = \log(2x+1)$、直線 $y=2$、および $y$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。ここで $\log$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log(2x+1)$、直線 $y=2$、および $y$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。ここで $\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log(2x+1)$ を $x$ について解きます。

$y = \log(2x+1)$

$e^y = 2x+1$

$2x = e^y - 1$

$x = \frac{e^y - 1}{2}$

求める面積は、$y$軸、$y=2$、および曲線 $x = \frac{e^y - 1}{2}$ で囲まれた部分の面積です。これは、以下の積分で計算できます。

$S = \int_0^2 x \, dy = \int_0^2 \frac{e^y - 1}{2} \, dy$

積分を実行します。

$S = \frac{1}{2} \int_0^2 (e^y - 1) \, dy = \frac{1}{2} [e^y - y]_0^2$

$S = \frac{1}{2} [(e^2 - 2) - (e^0 - 0)] = \frac{1}{2} [(e^2 - 2) - 1] = \frac{1}{2} (e^2 - 3)$

したがって、面積は $\frac{e^2 - 3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 - 3}{2}$