定積分 $\int_{-1}^2 |2x^2 - x - 1| \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^2 |2x^2 - x - 1| \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - x - 1 = 0$となる$x$を求めます。

$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) = 0$なので、$x = 1, -\frac{1}{2}$です。

したがって、積分区間を$-1 \le x \le -\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2} \le x \le 1$, $1 \le x \le 2$に分けて考えます。

(1) $-1 \le x \le -\frac{1}{2}$のとき、$2x^2 - x - 1 \ge 0$なので、$|2x^2 - x - 1| = 2x^2 - x - 1$。

(2) $-\frac{1}{2} \le x \le 1$のとき、$2x^2 - x - 1 \le 0$なので、$|2x^2 - x - 1| = -(2x^2 - x - 1) = -2x^2 + x + 1$。

(3) $1 \le x \le 2$のとき、$2x^2 - x - 1 \ge 0$なので、$|2x^2 - x - 1| = 2x^2 - x - 1$。

よって、

$\int_{-1}^2 |2x^2 - x - 1| \, dx = \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^2 - x - 1) \, dx + \int_{-\frac{1}{2}}^1 (-2x^2 + x + 1) \, dx + \int_1^2 (2x^2 - x - 1) \, dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int (2x^2 - x - 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x + C$

$\int (-2x^2 + x + 1) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C$

$\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^2 - x - 1) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x \right]_{-1}^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) - \left(\frac{2}{3}(-1) - \frac{1}{2}(1) - (-1)\right) = \left(-\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{-2 - 3 + 12}{24} - \frac{-4 - 3 + 6}{6} = \frac{7}{24} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{7}{24} + \frac{4}{24} = \frac{11}{24}$

$\int_{-\frac{1}{2}}^1 (-2x^2 + x + 1) \, dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{-\frac{1}{2}}^1 = \left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1\right) - \left(-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{-4 + 3 + 6}{6} - \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} - \frac{2 + 3 - 12}{24} = \frac{5}{6} - \left(-\frac{7}{24}\right) = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

$\int_1^2 (2x^2 - x - 1) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x \right]_1^2 = \left(\frac{2}{3}(8) - \frac{1}{2}(4) - 2\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1\right) = \left(\frac{16}{3} - 2 - 2\right) - \left(\frac{4 - 3 - 6}{6}\right) = \frac{16}{3} - 4 - \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{16}{3} - 4 + \frac{5}{6} = \frac{32 - 24 + 5}{6} = \frac{13}{6}$

$\int_{-1}^2 |2x^2 - x - 1| \, dx = \frac{11}{24} + \frac{9}{8} + \frac{13}{6} = \frac{11 + 27 + 52}{24} = \frac{90}{24} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{4}$