曲線 $y = \tan x$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$) と $x$ 軸、および2直線 $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求め、 $S = \log \sqrt{\Box}$ の $\Box$ に入る値を答える。

1. 問題の内容

曲線 $y = \tan x$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$) と $x$ 軸、および2直線 $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求め、 $S = \log \sqrt{\Box}$ の $\Box$ に入る値を答える。

2. 解き方の手順

求める面積 $S$ は、定積分 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$ で計算できる。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

ここで、 $u = \cos x$ とおくと、 $du = -\sin x \, dx$ となる。

また、 $x = \frac{\pi}{4}$ のとき $u = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = \frac{\pi}{3}$ のとき $u = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ である。

したがって、

$S = \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{u} \, du = -\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{u} \, du = -[\log |u|]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} = -(\log \frac{1}{2} - \log \frac{1}{\sqrt{2}})$

$S = -(\log \frac{1}{2} - \log 2^{-\frac{1}{2}}) = -(\log 2^{-1} - \log 2^{-\frac{1}{2}}) = -(-1 \cdot \log 2 + \frac{1}{2} \cdot \log 2) = \log 2 - \frac{1}{2} \log 2 = \frac{1}{2} \log 2$

$\frac{1}{2} \log 2 = \log 2^{\frac{1}{2}} = \log \sqrt{2}$

ゆえに、$S = \log \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

2