領域 $D$ 上の重積分 $\iint_D x^2 y \,dx\,dy$ を計算します。領域 $D$ は $y \ge 1-x$, $x \le 1$, $y \le 1$ で定義されています。

1. 問題の内容

領域 $D$ 上の重積分 $\iint_D x^2 y \,dx\,dy$ を計算します。領域 $D$ は $y \ge 1-x$, $x \le 1$, $y \le 1$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を確認します。与えられた条件から、$1-x \le y \le 1$ かつ $x \le 1$ です。また、$y \ge 1-x$ で $y \le 1$ なので、$1-x \le 1$ より $x \ge 0$ です。したがって、積分領域は $0 \le x \le 1$ かつ $1-x \le y \le 1$ となります。

重積分を計算します。積分順序は $x$ からでも $y$ からでも計算できますが、ここでは $y$ から先に積分します。

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\iint_D x^2 y \,dx\,dy = \int_{0}^{1} \int_{1-x}^{1} x^2 y \,dy\,dx

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まず、内側の積分を計算します。

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\int_{1-x}^{1} x^2 y \,dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1-x}^{1} = x^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{(1-x)^2}{2} \right) = \frac{x^2}{2} (1 - (1-2x+x^2)) = \frac{x^2}{2} (2x-x^2) = x^3 - \frac{x^4}{2}

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次に、外側の積分を計算します。

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\int_{0}^{1} \left( x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{10} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = \frac{3}{20}

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3. 最終的な答え

$\frac{3}{20}$