半径2の円周上を運動する質点A, Bの位置がそれぞれ $r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ で与えられるとき、以下の問いに答えよ。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ における質点の位置を記せ。 (ii) 円運動の角速度の定義と意味を述べ、A, Bの角速度 $\omega^A(t), \omega^B(t)$ を求めよ。 (iii) A, Bの周期を求めよ。 (iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t), v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認せよ。 (v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1), v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示せよ。 (vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示せよ。 (vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1), a_t^B(1)$、法線方向成分 $a_n^A(1), a_n^B(1)$ を求めよ。 (viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|a^A(1)|, |a^B(1)|$ を求めよ。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例をあげよ。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bの位置がそれぞれ

$r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ における質点の位置を記せ。

(ii) 円運動の角速度の定義と意味を述べ、A, Bの角速度 $\omega^A(t), \omega^B(t)$ を求めよ。

(iii) A, Bの周期を求めよ。

(iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t), v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認せよ。

(v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1), v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示せよ。

(vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示せよ。

(vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1), a_t^B(1)$、法線方向成分 $a_n^A(1), a_n^B(1)$ を求めよ。

(viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|a^A(1)|, |a^B(1)|$ を求めよ。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例をあげよ。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の図示

Aの軌跡は半径2の円周を等速で回る。

Bの軌跡も半径2の円周を回るが、角速度が時間と共に増加する。

$t=0$: $r^A(0) = 2 (\cos(-\frac{\pi}{6})i + \sin(-\frac{\pi}{6})j) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}j) = \sqrt{3}i - j$, $r^B(0) = 2i$

$t=1$: $r^A(1) = 2 (\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = \sqrt{3}i + j$, $r^B(1) = 2 (\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = \sqrt{3}i + j$

$t=2$: $r^A(2) = 2 (\cos(\frac{\pi}{2})i + \sin(\frac{\pi}{2})j) = 2j$, $r^B(2) = 2 (\cos(\frac{2\pi}{3})i + \sin(\frac{2\pi}{3})j) = 2 (-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = -i + \sqrt{3}j$

$t=3$: $r^A(3) = 2 (\cos(\frac{5\pi}{6})i + \sin(\frac{5\pi}{6})j) = 2 (-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = -\sqrt{3}i + j$, $r^B(3) = 2 (\cos(\frac{3\pi}{2})i + \sin(\frac{3\pi}{2})j) = -2j$

(ii) 角速度の定義

角速度は、単位時間あたりの角度の変化量である。

$\omega^A(t) = \frac{d}{dt} (\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{d}{dt} (\frac{\pi t^2}{6}) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期

Aの周期: $\frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$

Bの周期: 角速度が時間とともに変化するため、周期は定義できない。

(iv) 速度の接線成分

$v^A(t) = | \frac{dr^A}{dt} | = | 2 (-\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \frac{\pi}{3}i + \cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \frac{\pi}{3}j) | = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ (定数なので等速)

$v^B(t) = | \frac{dr^B}{dt} | = | 2 (-\sin(\frac{\pi t^2}{6}) \frac{\pi t}{3}i + \cos(\frac{\pi t^2}{6}) \frac{\pi t}{3}j) | = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$ (tの一次式なので等加速度)

(v) $t=1$ における速度

$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

速度ベクトルはそれぞれ

$\frac{dr^A}{dt}|_{t=1} = \frac{2\pi}{3}(-\sin(\frac{\pi}{6})i + \cos(\frac{\pi}{6})j) = \frac{2\pi}{3}(-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = \frac{\pi}{3}(-i + \sqrt{3}j)$

$\frac{dr^B}{dt}|_{t=1} = \frac{2\pi}{3}(-\sin(\frac{\pi}{6})i + \cos(\frac{\pi}{6})j) = \frac{2\pi}{3}(-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = \frac{\pi}{3}(-i + \sqrt{3}j)$

(vi) $t=1$ における加速度

$a^A(t) = \frac{d^2r^A}{dt^2} = 2 (-\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) (\frac{\pi}{3})^2 i - \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) (\frac{\pi}{3})^2 j) = -(\frac{\pi}{3})^2 r^A(t)$

$a^B(t) = \frac{d^2r^B}{dt^2} = 2 (-\sin(\frac{\pi t^2}{6}) (\frac{\pi t}{3})^2i + \cos(\frac{\pi t^2}{6}) (\frac{\pi t}{3})^2j) + 2 (-\sin(\frac{\pi t^2}{6}) \frac{\pi}{3}i + \cos(\frac{\pi t^2}{6}) \frac{\pi}{3}j) \frac{d}{dt}(\frac{\pi t}{3}) = -(\frac{\pi t}{3})^2 r^B(t) + \frac{2\pi}{3} (-\sin(\frac{\pi t^2}{6})\frac{\pi}{3} i + \cos(\frac{\pi t^2}{6}) \frac{\pi}{3} j)$

$a^A(1) = -(\frac{\pi}{3})^2 r^A(1) = -(\frac{\pi}{3})^2 (\sqrt{3}i + j) = -\frac{\pi^2}{9} (\sqrt{3}i + j)$

$a^B(1) = -(\frac{\pi}{3})^2 r^B(1) + \frac{\pi}{3}\frac{2\pi}{3} (-\sin(\frac{\pi}{6}) i + \cos(\frac{\pi}{6}) j) = -\frac{\pi^2}{9} (\sqrt{3}i + j) + \frac{2\pi^2}{9} (-\frac{1}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} j) = -\frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}+1)i + \frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}-1)j$

(vii) 加速度の接線方向成分と法線方向成分

$a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = |a^A(1)| = \frac{\pi^2}{9} \sqrt{3+1} = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{d}{dt} v^B(t) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{v^B(1)^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ

$|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$

$|a^B(1)| = \sqrt{(\frac{a_t^B(1)}{r})^2+(\frac{v_b^2(1)}{r})^2}= \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{(2\pi/3)^2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + \frac{2\pi^4}{81} \cdot 4} = \frac{2\pi^2}{9}$

(ix) 加速度が異なる例

等速円運動では、速度が一定でも常に中心に向かう向心加速度が存在する。一方、静止している物体に力を加えると、加速度が生じる。速度が等しくても、運動状態が異なれば加速度も異なる。

3. 最終的な答え

(i) 図は省略

(ii) $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) Aの周期: 6, Bは周期を持たない

(iv) $v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) 図は省略、$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(vi) 図は省略、$a^A(1) = -\frac{\pi^2}{9} (\sqrt{3}i + j)$, $a^B(1) = -\frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}+1)i + \frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}-1)j$

(vii) $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$

(ix) 上述