半径2の円周上を運動する質点AとBについて、それぞれの時刻$t$における位置が与えられています。 $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ (i) $0 \le t \le 3$ におけるAとBの軌跡を描き、$t=0,1,2,3$における質点の位置に印をつける。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、AとBの角速度$\omega^A(t), \omega^B(t)$を求める。 (iii) AとBについて、周期があればそれを求める。 (iv) AとBの速度の接線成分$v^A(t), v^B(t)$を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確かめる。 (v) $t=1$におけるAとBの速度$v^A(1), v^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vi) $t=1$におけるAとBの加速度$a^A(1), a^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vii) $t=1$におけるAとBの加速度$a^A(1), a^B(1)$の接線方向成分$a_t^A(1), a_t^B(1)$（進行方向を正）、法線方向成分$a_n^A(1), a_n^B(1)$（外向きを正）をそれぞれ求める。 (viii) $t=1$におけるAとBの加速度の大きさ$a^A(1), a^B(1)$を求める。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示す。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点AとBについて、それぞれの時刻$t$における位置が与えられています。

$r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

(i) $0 \le t \le 3$ におけるAとBの軌跡を描き、$t=0,1,2,3$における質点の位置に印をつける。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、AとBの角速度$\omega^A(t), \omega^B(t)$を求める。

(iii) AとBについて、周期があればそれを求める。

(iv) AとBの速度の接線成分$v^A(t), v^B(t)$を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確かめる。

(v) $t=1$におけるAとBの速度$v^A(1), v^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vi) $t=1$におけるAとBの加速度$a^A(1), a^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vii) $t=1$におけるAとBの加速度$a^A(1), a^B(1)$の接線方向成分$a_t^A(1), a_t^B(1)$（進行方向を正）、法線方向成分$a_n^A(1), a_n^B(1)$（外向きを正）をそれぞれ求める。

(viii) $t=1$におけるAとBの加速度の大きさ$a^A(1), a^B(1)$を求める。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示す。

2. 解き方の手順

(i)

Aの軌跡は、半径2の円周を等速で回転する。Bの軌跡も半径2の円周を回転するが、角速度が時間とともに変化する。$t=0,1,2,3$におけるAとBの位置を計算して、軌跡上にプロットする。

A:

$t=0: r^A(0) = 2(\cos(-\pi/6)i + \sin(-\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i - 1/2 j) = (\sqrt{3}, -1)$

$t=1: r^A(1) = 2(\cos(\pi/6)i + \sin(\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (\sqrt{3}, 1)$

$t=2: r^A(2) = 2(\cos(\pi/2)i + \sin(\pi/2)j) = (0, 2)$

$t=3: r^A(3) = 2(\cos(5\pi/6)i + \sin(5\pi/6)j) = 2(-\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (-\sqrt{3}, 1)$

B:

$t=0: r^B(0) = 2(\cos(0)i + \sin(0)j) = (2, 0)$

$t=1: r^B(1) = 2(\cos(\pi/6)i + \sin(\pi/6)j) = (\sqrt{3}, 1)$

$t=2: r^B(2) = 2(\cos(2\pi/3)i + \sin(2\pi/3)j) = (-1, \sqrt{3})$

$t=3: r^B(3) = 2(\cos(3\pi/2)i + \sin(3\pi/2)j) = (0, -2)$

(ii)

角速度の定義：$\omega = \frac{d\theta}{dt}$, ここで$\theta$は角度。

Aの場合: $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$, $\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

Bの場合: $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$, $\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii)

Aの場合、角速度は一定なので等速円運動であり、周期$T$は$T = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$

Bの場合、角速度は時間とともに変化するので周期は定義できない。

(iv)

速度は$v = r\omega$。

Aの場合: $v^A(t) = 2\omega^A(t) = 2\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Bの場合: $v^B(t) = 2\omega^B(t) = 2\frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

$v^A(t)$は定数なのでAは等速円運動。$v^B(t)$は$t$の一次関数なので、Bは等加速度円運動。

(v)

$v^A(t) = \frac{dr^A}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$v^A(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi\sqrt{3}}{3})$

$v^B(t) = \frac{dr^B}{dt} = 2(-\frac{\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6})j)$

$v^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi\sqrt{3}}{3})$

(vi)

$a^A(t) = \frac{dv^A}{dt} = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$a^A(1) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}, -\frac{\pi^2}{9})$

$a^B(t) = \frac{dv^B}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2t^2}{9}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2t^2}{9}\sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

$a^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6}) i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})j)$

$= 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}, \frac{\pi\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi^2}{9})$

(vii)

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = |a^A(1)| = \frac{\pi^2}{9} * 2 = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{v(t).a(t)}{|v(t)|}=\frac{v^B(1).a^B(1)}{|v^B(1)|}=\frac{(-\pi/3, \pi\sqrt{3}/3).(-\pi/3-\pi^2\sqrt{3}/9, \pi\sqrt{3}/3-\pi^2/9)}{2\pi/3}$

$=(\pi^2/9+\pi^3\sqrt{3}/27+3\pi^2/9-\pi^3\sqrt{3}/27)*3/(2\pi)=\pi/2$

$a_n^B(1) = \sqrt{|a^B(1)|^2 - (a_t^B(1))^2}$

$a^B(1) = \sqrt{(-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2+(\frac{\pi\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi^2}{9})^2}$

$a_n^B(1)=\frac{2\pi^2}{9}$

(viii)

$a^A(1) = |a^A(1)| = \sqrt{(-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2 + (-\frac{\pi^2}{9})^2} = \frac{\pi^2}{9}\sqrt{3+1} = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \sqrt{(-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2+(\frac{\pi\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi^2}{9})^2}= \sqrt{\frac{\pi^2}{9} + \frac{2\pi^3\sqrt{3}}{27} + \frac{\pi^4}{27} + \frac{3\pi^2}{9} - \frac{2\pi^3\sqrt{3}}{27} + \frac{\pi^4}{81}}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{9}+\frac{4\pi^4}{81}}$

(ix)

例：同じ半径$R$の円運動で、質点1は速度$v$で等速円運動をし、質点2は最初は速度$v$で円運動を始め、その後減速して静止するとする。質点1は常に向心加速度$v^2/R$を持つが、質点2は減速する際に接線方向の加速度を持つため、同じ速度であっても加速度は異なる。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡は解答を参照。

(ii) $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) Aの周期は6。Bは周期を持たない。

(iv) Aは等速円運動、Bは等加速度円運動。

(v) $v^A(1) = (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi\sqrt{3}}{3})$, $v^B(1) = (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi\sqrt{3}}{3})$　軌跡上に図示（解答参照）

(vi) $a^A(1) = (-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}, -\frac{\pi^2}{9})$, $a^B(1) = (-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}, \frac{\pi\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi^2}{9})$ 軌跡上に図示（解答参照）

(vii) $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1)=\frac{\pi}{2}$, $a_n^B(1)=\frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a^B(1) = \sqrt{\frac{4\pi^2}{9}+\frac{4\pi^4}{81}}$

(ix) 上記の例を参照。