$x > 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。 $1 + xe^x > e^x > 1 + x$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。

$1 + xe^x > e^x > 1 + x$

2. 解き方の手順

まず、$e^x > 1 + x$ を示す。

関数 $f(x) = e^x - (1+x)$ を考える。$x > 0$ で $f(x) > 0$ となることを示す。

$f'(x) = e^x - 1$

$x > 0$ より $e^x > 1$ なので、$f'(x) > 0$。

したがって、$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加。

$f(0) = e^0 - (1+0) = 1 - 1 = 0$。

$x > 0$ で $f(x) > f(0) = 0$ より、$e^x > 1 + x$。

次に、$1 + xe^x > e^x$ を示す。

これは、$xe^x > e^x - 1$ と同値。

$e^x > 1$ より、$e^x - 1 > 0$。

$x > 0$ より、$xe^x > 0$。

したがって、$x > 0$ のとき、$xe^x$ は正の数。

$e^x - 1$ は $x > 0$ のとき、$0$ より大きい。

ここで、$g(x) = xe^x - (e^x - 1)$ とおく。

$g(x) = (x-1)e^x + 1$

$g'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

$x > 0$ より、$g'(x) > 0$ であるから、$g(x)$ は単調増加。

$x > 0$ のとき、$e^x > 1+x$ であることを用いる。

$x > 0$ なので、$xe^x > 0$ 。また、$e^x > 1$ より、$e^x - 1 > 0$。

$g(0) = (0 - 1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0$。

$x > 0$ のとき、$g(x) > g(0) = 0$ であるから、$xe^x > e^x - 1$。

したがって、$1 + xe^x > e^x$。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、$1 + xe^x > e^x > 1 + x$