数列 $\{a_n\}$ が与えられたとき、$n \ge N$ ならば $|a_n - \alpha| < 10^{-4}$ が成り立つような最小の自然数 $N$ を求める問題です。ここで、$\alpha$ は数列 $\{a_n\}$ の極限です。具体的には、以下の3つの数列について $N$ を求めます。 (1) $a_n = \frac{1}{n^2}$ (2) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$ (3) $a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$ （ただし、$\log_{10} 2 \approx 0.301$）

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられたとき、$n \ge N$ ならば $|a_n - \alpha| < 10^{-4}$ が成り立つような最小の自然数 $N$ を求める問題です。ここで、$\alpha$ は数列 $\{a_n\}$ の極限です。具体的には、以下の3つの数列について $N$ を求めます。

(1) $a_n = \frac{1}{n^2}$

(2) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$

(3) $a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$ （ただし、$\log_{10} 2 \approx 0.301$）

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{1}{n^2}$ の場合：

極限 $\alpha$ は $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ なので、$\alpha = 0$ です。

$|a_n - \alpha| = |\frac{1}{n^2} - 0| = \frac{1}{n^2} < 10^{-4}$ を満たす $n$ を求めます。

$\frac{1}{n^2} < 10^{-4}$ より、$n^2 > 10^4$ となります。したがって、$n > \sqrt{10^4} = 100$ です。

最小の自然数 $N$ は $101$ です。

(2) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$ の場合：

極限 $\alpha$ は $\lim_{n\to\infty} \frac{n-1}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$ なので、$\alpha = 1$ です。

$|a_n - \alpha| = |\frac{n-1}{n+1} - 1| = |\frac{n-1 - (n+1)}{n+1}| = |\frac{-2}{n+1}| = \frac{2}{n+1} < 10^{-4}$ を満たす $n$ を求めます。

$\frac{2}{n+1} < 10^{-4}$ より、$n+1 > 2 \times 10^4 = 20000$ となります。したがって、$n > 19999$ です。

最小の自然数 $N$ は $20000$ です。

(3) $a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$ の場合：

極限 $\alpha$ は $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} = \lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{2^n}) = 1 - 0 = 1$ なので、$\alpha = 1$ です。

$|a_n - \alpha| = |\frac{2^n - 1}{2^n} - 1| = |\frac{2^n - 1 - 2^n}{2^n}| = |\frac{-1}{2^n}| = \frac{1}{2^n} < 10^{-4}$ を満たす $n$ を求めます。

$\frac{1}{2^n} < 10^{-4}$ より、$2^n > 10^4$ となります。

両辺の常用対数をとると、$n \log_{10} 2 > \log_{10} 10^4 = 4$ となります。

$n > \frac{4}{\log_{10} 2} \approx \frac{4}{0.301} \approx 13.289$ です。

最小の自然数 $N$ は $14$ です。

3. 最終的な答え

(1) $N = 101$

(2) $N = 20000$

(3) $N = 14$