領域 $D$ が $y \ge 1-x$, $x \le 1$, $y \le 1$ で定義されるとき、二重積分 $\iint_D x^2 y \, dx dy$ の値を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $y \ge 1-x$, $x \le 1$, $y \le 1$ で定義されるとき、二重積分 $\iint_D x^2 y \, dx dy$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を決定します。不等式 $y \ge 1-x$, $x \le 1$, $y \le 1$ を満たす領域を考えます。

$x \le 1$ と $y \le 1$ より、領域は $x=1$ と $y=1$ で制限されます。

$y \ge 1-x$ より、$y = 1-x$ の上側の領域となります。

$x$ の範囲を決めるために、$y = 1$ と $y = 1-x$ の交点を求めます。

$1 = 1-x$ より、$x=0$ です。

また、$x$ の下限は、$y = 1-x$ と $x=1$ の交点から得られます。このとき $y = 1-1 = 0$ となります。

したがって、$x$ の範囲は $0 \le x \le 1$ です。

次に、$y$ の範囲を決めます。

与えられた条件から、$1-x \le y \le 1$ です。

したがって、二重積分は次のように書けます。

$$\iint_D x^2 y \, dx dy = \int_{0}^{1} \int_{1-x}^{1} x^2 y \, dy dx$$

まず、$y$ について積分します。

$$\int_{1-x}^{1} x^2 y \, dy = x^2 \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{1-x}^{1} = \frac{1}{2} x^2 \left[ 1^2 - (1-x)^2 \right] = \frac{1}{2} x^2 \left[ 1 - (1 - 2x + x^2) \right] = \frac{1}{2} x^2 (2x - x^2) = x^3 - \frac{1}{2} x^4$$

次に、$x$ について積分します。

$$\int_{0}^{1} \left( x^3 - \frac{1}{2} x^4 \right) dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} (1)^4 - \frac{1}{10} (1)^5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = \frac{3}{20}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{20}$