半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの時刻 $t$ における位置が与えられています。 - 質点Aの位置: $\vec{r}^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\vec{j})$ - 質点Bの位置: $\vec{r}^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi t^2}{6})\vec{j})$ これらの質点について、以下の問いに答えます。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t = 0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつけます。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義を書き、A, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求めます。 (iii) A, Bについて、周期があればそれを求めます。 (iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aは等速円運動、Bは等加速度円運動であることを確認します。 (v) $t = 1$ におけるA, Bの速度 $\vec{v}^A(1)$, $\vec{v}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。 (vi) $t = 1$ におけるA, Bの加速度 $\vec{a}^A(1)$, $\vec{a}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。 (vii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度 $\vec{a}^A(1)$, $\vec{a}^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ (進行方向を正)、法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ (外向きを正)をそれぞれ求めます。 (viii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|\vec{a}^A(1)|$, $|\vec{a}^B(1)|$ を求めます。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示します。

## 問題の回答

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの時刻 $t$ における位置が与えられています。

- 質点Aの位置: $\vec{r}^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\vec{j})$

- 質点Bの位置: $\vec{r}^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi t^2}{6})\vec{j})$

これらの質点について、以下の問いに答えます。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t = 0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつけます。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義を書き、A, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求めます。

(iii) A, Bについて、周期があればそれを求めます。

(iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aは等速円運動、Bは等加速度円運動であることを確認します。

(v) $t = 1$ におけるA, Bの速度 $\vec{v}^A(1)$, $\vec{v}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。

(vi) $t = 1$ におけるA, Bの加速度 $\vec{a}^A(1)$, $\vec{a}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。

(vii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度 $\vec{a}^A(1)$, $\vec{a}^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ (進行方向を正)、法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ (外向きを正)をそれぞれ求めます。

(viii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|\vec{a}^A(1)|$, $|\vec{a}^B(1)|$ を求めます。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示します。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画

A, Bの位置ベクトルはそれぞれ以下のようになります。

$\vec{r}^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\vec{j})$

$\vec{r}^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi t^2}{6})\vec{j})$

$t=0, 1, 2, 3$を代入して、それぞれの位置を求めます。

(ii) 角速度の定義

一般的な円運動の角速度 $\omega$ は、単位時間あたりの回転角度の変化として定義されます。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

Aの角速度：$\omega^A(t) = \frac{d}{dt}(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$

Bの角速度：$\omega^B(t) = \frac{d}{dt}(\frac{\pi t^2}{6}) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期

Aの周期：$T_A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$

問題の条件は$0 \le t \le 3$ なので、半周しか運動しません。

Bは等加速度運動なので周期はありません。

(iv) 接線成分

速度は位置ベクトルを時間で微分することで求められます。

$\vec{v}^A(t) = \frac{d\vec{r}^A(t)}{dt} = 2(-\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{j})$

$\vec{v}^B(t) = \frac{d\vec{r}^B(t)}{dt} = 2(-\sin(\frac{\pi t^2}{6})\frac{\pi t}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi t^2}{6})\frac{\pi t}{3}\vec{j})$

速度の大きさは、

$v^A(t) = |\vec{v}^A(t)| = 2\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(t) = |\vec{v}^B(t)| = 2\frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

Aの速さは一定なので等速円運動です。Bの速さは時間に比例して増加するので、等加速度円運動です。

(v) $t=1$ における速度

$\vec{v}^A(1) = 2(-\sin(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{j}) = 2(-\frac{1}{2}\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\pi}{3}\vec{j}) = -\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\vec{j}$

$\vec{v}^B(1) = 2(-\sin(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{j}) = 2(-\frac{1}{2}\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\pi}{3}\vec{j}) = -\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\vec{j}$

(vi) $t=1$ における加速度

加速度は速度ベクトルを時間で微分することで求められます。

$\vec{a}^A(t) = \frac{d\vec{v}^A(t)}{dt} = 2(-\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{3})^2\vec{i} - \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{3})^2\vec{j}) = -(\frac{\pi}{3})^2\vec{r}^A(t)$

$\vec{a}^B(t) = \frac{d\vec{v}^B(t)}{dt} = 2(-\cos(\frac{\pi t^2}{6})(\frac{\pi t}{3})^2\vec{i} - \sin(\frac{\pi t^2}{6})(\frac{\pi t}{3})^2\vec{j}) + 2(-\sin(\frac{\pi t^2}{6})\frac{\pi}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi t^2}{6})\frac{\pi}{3}\vec{j})$

$t=1$ のとき

$\vec{a}^A(1) = -(\frac{\pi}{3})^2\vec{r}^A(1) = -(\frac{\pi}{3})^2(2(\cos(\frac{\pi}{6})\vec{i} + \sin(\frac{\pi}{6})\vec{j})) = -(\frac{\pi}{3})^2(2(\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j})) = -\frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}\vec{i} + \vec{j})$

$\vec{a}^B(1) = 2(-\cos(\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{3})^2\vec{i} - \sin(\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{3})^2\vec{j}) + 2(-\sin(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{j}) = -(\frac{\pi}{3})^2\vec{r}^B(1) + 2(-\sin(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{i} + \cos(\frac{\pi}{6})\frac{\pi}{3}\vec{j})$

$= -(\frac{\pi}{3})^2(\sqrt{3}\vec{i} + \vec{j}) - \frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\vec{j} = (-\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} - \frac{\pi}{3})\vec{i} + (-\frac{\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3})\vec{j}$

(vii) 接線方向成分と法線方向成分

接線方向成分は速度ベクトルの方向の加速度成分、法線方向成分は接線方向と垂直な方向の加速度成分です。

Aの場合、等速円運動なので接線方向の加速度は0です。法線方向の加速度は向心加速度です。

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = \frac{v_A(1)^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

Bの場合、

$a_t^B(1) = \frac{\vec{a}^B(1) \cdot \vec{v}^B(1)}{|\vec{v}^B(1)|} = \frac{((-\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} - \frac{\pi}{3})\vec{i} + (-\frac{\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3})\vec{j}) \cdot (-\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\vec{j})}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}\pi^3}{27} + \frac{\pi^2}{9} - \frac{\sqrt{3}\pi^3}{27} + \frac{3\pi^2}{9}}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\frac{4\pi^2}{9}}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \sqrt{|\vec{a}^B(1)|^2 - a_t^B(1)^2}$

$|\vec{a}^B(1)|^2 = (-\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} - \frac{\pi}{3})^2 + (-\frac{\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3})^2 = \frac{3\pi^4}{81} + \frac{2\sqrt{3}\pi^3}{27} + \frac{\pi^2}{9} + \frac{\pi^4}{81} - \frac{2\sqrt{3}\pi^3}{27} + \frac{3\pi^2}{9} = \frac{4\pi^4}{81} + \frac{4\pi^2}{9}$

$a_n^B(1) = \sqrt{\frac{4\pi^4}{81} + \frac{4\pi^2}{9} - (\frac{2\pi}{3})^2} = \sqrt{\frac{4\pi^4}{81} + \frac{4\pi^2}{9} - \frac{4\pi^2}{9}} = \sqrt{\frac{4\pi^4}{81}} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ

$|\vec{a}^A(1)| = |-\frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}\vec{i} + \vec{j})| = \frac{\pi^2}{9}\sqrt{3+1} = \frac{2\pi^2}{9}$

$|\vec{a}^B(1)| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} - \frac{\pi}{3})^2 + (-\frac{\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3})^2} = \sqrt{\frac{4\pi^4}{81} + \frac{4\pi^2}{9}} = \frac{2\pi}{9}\sqrt{\pi^2 + 9}$

(ix) 同じ半径、同じ速度で加速度が異なる例

等速円運動と、円運動の速度方向と反対向きに力を受けて減速する円運動を考えます。

どちらも同じ半径で同じ速度の瞬間があったとしても、前者は向心加速度のみですが、後者は向心加速度に加えて接線方向の加速度（減速方向）を持つため、加速度が異なります。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡の描画: (省略 - 描画が必要)

(ii) 角速度: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期: Aの周期は6。Bは周期なし。

(iv) 等速・等加速度円運動の確認: Aは等速円運動、Bは等加速度円運動

(v) $t=1$ における速度: $\vec{v}^A(1) = -\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\vec{j}$, $\vec{v}^B(1) = -\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\vec{j}$ (軌跡への図示は省略)

(vi) $t=1$ における加速度: $\vec{a}^A(1) = -\frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}\vec{i} + \vec{j})$, $\vec{a}^B(1) = (-\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} - \frac{\pi}{3})\vec{i} + (-\frac{\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3})\vec{j}$ (軌跡への図示は省略)

(vii) 加速度の接線方向成分と法線方向成分: $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ: $|\vec{a}^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|\vec{a}^B(1)| = \frac{2\pi}{9}\sqrt{\pi^2 + 9}$

(ix) 加速度が異なる例: 同じ半径・速度でも、減速する円運動は異なる加速度を持つ。