領域$D$上で、関数$e^{x+y}$の重積分を計算します。ここで領域$D$は、$y \ge 0$, $y \le x$, $x+y \le 2$によって定義されます。

1. 問題の内容

領域$D$上で、関数$e^{x+y}$の重積分を計算します。ここで領域$D$は、$y \ge 0$, $y \le x$, $x+y \le 2$によって定義されます。

2. 解き方の手順

まず、積分領域$D$を図示します。不等式$y \ge 0$, $y \le x$, $x+y \le 2$を満たす領域です。

$y=x$と$x+y=2$の交点は$x+x=2$より、$x=1$, $y=1$です。

したがって、領域$D$は$(0,0), (1,1), (2,0)$を頂点とする三角形の領域です。

積分領域を、$x$で積分してから$y$で積分する順序で考えます。

$y$を固定したとき、$x$の範囲は$y \le x \le 2-y$となります。

$y$の範囲は$0 \le y \le 1$となります。

したがって、重積分は次のようになります。

$\int_0^1 \int_y^{2-y} e^{x+y} dx dy$

まず、$x$について積分します。

$\int_y^{2-y} e^{x+y} dx = e^y \int_y^{2-y} e^x dx = e^y [e^x]_y^{2-y} = e^y (e^{2-y} - e^y) = e^2 - e^{2y}$

次に、$y$について積分します。

$\int_0^1 (e^2 - e^{2y}) dy = [e^2 y - \frac{1}{2} e^{2y}]_0^1 = (e^2 - \frac{1}{2} e^2) - (0 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2+1}{2}$