半径2の円周上を運動する2つの質点AとBについて、与えられた位置ベクトル $\vec{r}^A(t)$ と $\vec{r}^B(t)$ をもとに、以下の問いに答える。 * (i) $0 \le t \le 3$ におけるAとBの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ での位置に印をつける。 * (ii) 一般的な円運動の角速度の定義と意味を述べ、AとBの角速度 $\omega^A(t)$ と $\omega^B(t)$ を求める。 * (iii) AとBの周期を求める。 * (iv) AとBの速度の接線成分 $v^A(t)$ と $v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認する。 * (v) $t=1$ におけるAとBの速度 $\vec{v}^A(1)$ と $\vec{v}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 * (vi) $t=1$ におけるAとBの加速度 $\vec{a}^A(1)$ と $\vec{a}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 * (vii) $t=1$ におけるAとBの加速度 $\vec{a}^A(1)$ と $\vec{a}^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$ と $a_t^B(1)$ (進行方向を正) および法線方向成分 $a_n^A(1)$ と $a_n^B(1)$ (外向きを正) を求める。 * (viii) $t=1$ におけるAとBの加速度の大きさ $a^A(1)$ と $a^B(1)$ を求める。 * (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度が異なる例を示す。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する2つの質点AとBについて、与えられた位置ベクトル $\vec{r}^A(t)$ と $\vec{r}^B(t)$ をもとに、以下の問いに答える。

* (i) $0 \le t \le 3$ におけるAとBの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ での位置に印をつける。

* (ii) 一般的な円運動の角速度の定義と意味を述べ、AとBの角速度 $\omega^A(t)$ と $\omega^B(t)$ を求める。

* (iii) AとBの周期を求める。

* (iv) AとBの速度の接線成分 $v^A(t)$ と $v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認する。

* (v) $t=1$ におけるAとBの速度 $\vec{v}^A(1)$ と $\vec{v}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

* (vi) $t=1$ におけるAとBの加速度 $\vec{a}^A(1)$ と $\vec{a}^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

* (vii) $t=1$ におけるAとBの加速度 $\vec{a}^A(1)$ と $\vec{a}^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$ と $a_t^B(1)$ (進行方向を正) および法線方向成分 $a_n^A(1)$ と $a_n^B(1)$ (外向きを正) を求める。

* (viii) $t=1$ におけるAとBの加速度の大きさ $a^A(1)$ と $a^B(1)$ を求める。

* (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度が異なる例を示す。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画

位置ベクトル $\vec{r}^A(t)$ と $\vec{r}^B(t)$ の式に $t=0, 1, 2, 3$ を代入して、それぞれの位置座標を計算する。これらの点を結ぶことで軌跡を描画する。AとBを区別するために、異なる記号または色を用いる。

(ii) 角速度の定義と計算

一般的な円運動における角速度 $\omega$ は、単位時間あたりの回転角の変化率として定義される。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

AとBの角速度を求める。

$\vec{r}^A(t) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \vec{j} \right)$

$\vec{r}^B(t) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \vec{j} \right)$

それぞれの偏角を $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ および $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$ とすると、角速度はそれぞれの時間微分で与えられる。

$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算

Aの角速度は一定であるため、周期 $T^A$ は次のように計算できる。

$T^A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$

Bの角速度は時間によって変化するため、一定の周期を持たない。

(iv) 接線成分の計算と円運動の確認

速度ベクトルは位置ベクトルの時間微分で求められる。

$\vec{v}^A(t) = \frac{d\vec{r}^A}{dt} = 2 \left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \vec{j} \right)$

$\vec{v}^B(t) = \frac{d\vec{r}^B}{dt} = 2 \left( -\frac{\pi t}{3}\sin\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \vec{i} + \frac{\pi t}{3}\cos\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \vec{j} \right)$

接線成分は速度ベクトルの大きさで与えられる。

$v^A(t) = |\vec{v}^A(t)| = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(t) = |\vec{v}^B(t)| = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

Aの速度は時間によらず一定なので、Aは等速円運動である。Bの速度は時間に比例して増加するので、Bは等加速度円運動である。

(v) $t=1$ での速度の計算と図示

$t=1$ における速度を計算する。

$\vec{v}^A(1) = 2 \left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{j} \right) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{i} + \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j} \right) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$

$\vec{v}^B(1) = 2 \left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{j} \right) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$

これらのベクトルを軌跡上に図示する。

(vi) $t=1$ での加速度の計算と図示

加速度ベクトルは速度ベクトルの時間微分で求められる。

$\vec{a}^A(t) = \frac{d\vec{v}^A}{dt} = 2 \left( -\frac{\pi^2}{9}\cos\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \vec{i} - \frac{\pi^2}{9}\sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \vec{j} \right)$

$\vec{a}^B(t) = \frac{d\vec{v}^B}{dt} = 2 \left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) - \frac{\pi^2 t^2}{9} \cos\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \right) \vec{i} + 2 \left( \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) - \frac{\pi^2 t^2}{9} \sin\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \right) \vec{j}$

$t=1$ における加速度を計算する。

$\vec{a}^A(1) = 2 \left( -\frac{\pi^2}{9}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{i} - \frac{\pi^2}{9}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{j} \right) = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} \vec{i} - \frac{\pi^2}{9} \vec{j}$

$\vec{a}^B(1) = 2 \left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \vec{i} + 2 \left( \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \vec{j} = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi^2}{9}) \vec{i} + (\frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\pi^2}{9}) \vec{j}$

これらのベクトルを軌跡上に図示する。

(vii) $t=1$ での接線方向成分と法線方向成分の計算

接線方向成分は加速度ベクトルを速度ベクトルに射影することで求められる。法線方向成分は加速度ベクトルから接線方向成分を引くことで求められる。

$a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = |\vec{a}^A(1)| = \frac{2 \pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{\sqrt{3} \pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ での加速度の大きさの計算

$a^A(1) = |\vec{a}^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = |\vec{a}^B(1)| = \frac{\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{4 \pi ^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例

同じ半径の円運動で、等速円運動と等加速度円運動では、速度が等しい瞬間でも、加速度は異なる。

例えば、Aは等速円運動、Bは速度が最初は小さく、徐々に速くなる等加速度円運動の場合を考える。ある瞬間では速度が等しくても、加速度の接線成分はBの方が大きくなる。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡は円であり、$t=0, 1, 2, 3$ での位置は計算された座標に印をつける。AとBを区別して描画すること。

(ii) 角速度の定義: 単位時間あたりの回転角の変化率。

$\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期:

$T^A = 6$

Bは周期を持たない

(iv) 接線成分:

$v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

Aは等速円運動、Bは等加速度円運動

(v) $t=1$ での速度:

$\vec{v}^A(1) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$

$\vec{v}^B(1) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$

軌跡上に図示

(vi) $t=1$ での加速度:

$\vec{a}^A(1) = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} \vec{i} - \frac{\pi^2}{9} \vec{j}$

$\vec{a}^B(1) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi^2}{9}) \vec{i} + (\frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\pi^2}{9}) \vec{j}$

軌跡上に図示

(vii) $t=1$ での接線方向成分と法線方向成分:

$a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2 \pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{\pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ での加速度の大きさ:

$a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \frac{\pi}{3}\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{3}}$

(ix) 加速度が異なる例：

Aは等速円運動、Bは等加速度円運動の場合、ある瞬間で速度が等しくても、加速度は異なる。