関数 $f(x, y) = \frac{1}{1-x-y}$ のマクローリン展開（つまり、(x, y) = (0, 0) でのテイラー展開）を、2次の項まで求める問題です。剰余項は求める必要はありません。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{1}{1-x-y}$ のマクローリン展開（つまり、(x, y) = (0, 0) でのテイラー展開）を、2次の項まで求める問題です。剰余項は求める必要はありません。

2. 解き方の手順

まず、マクローリン展開の一般形を確認します。多変数関数のマクローリン展開は、以下のようになります。

$f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)y + \frac{1}{2}(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0)x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0)y^2) + \dots$

次に、必要な偏微分を計算します。

$f(x, y) = \frac{1}{1-x-y}$

$f(0, 0) = \frac{1}{1-0-0} = 1$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{(1-x-y)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \frac{1}{(1-0-0)^2} = 1$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{(1-x-y)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \frac{1}{(1-0-0)^2} = 1$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{2}{(1-x-y)^3}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = \frac{2}{(1-0-0)^3} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{2}{(1-x-y)^3}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = \frac{2}{(1-0-0)^3} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{2}{(1-x-y)^3}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = \frac{2}{(1-0-0)^3} = 2$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x, y) = 1 + 1x + 1y + \frac{1}{2}(2x^2 + 2(2)xy + 2y^2) + \dots$

$f(x, y) = 1 + x + y + x^2 + 2xy + y^2 + \dots$

3. 最終的な答え

$1 + x + y + x^2 + 2xy + y^2$