次の3つの複素数の実部と虚部を求めます。 (1) $(1-i)^i$ (2) $\ln(1-i)$ (3) $\cosh(1+i)$

1. 問題の内容

次の3つの複素数の実部と虚部を求めます。

(1) $(1-i)^i$

(2) $\ln(1-i)$

(3) $\cosh(1+i)$

2. 解き方の手順

(1) $(1-i)^i$ の場合:

まず、$1-i$ を極形式で表します。

$1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4} = \sqrt{2}(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4))$

したがって、

$(1-i)^i = (\sqrt{2} e^{-i\pi/4})^i = (\sqrt{2})^i (e^{-i\pi/4})^i = e^{i\ln(\sqrt{2})} e^{\pi/4} = e^{\pi/4} e^{i\ln(\sqrt{2})} = e^{\pi/4} (\cos(\ln(\sqrt{2})) + i\sin(\ln(\sqrt{2})))$

実部は $e^{\pi/4} \cos(\ln(\sqrt{2}))$、虚部は $e^{\pi/4} \sin(\ln(\sqrt{2}))$

(2) $\ln(1-i)$ の場合:

$1-i$ を極形式で表すと、$1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$

したがって、

$\ln(1-i) = \ln(\sqrt{2} e^{-i\pi/4}) = \ln(\sqrt{2}) + \ln(e^{-i\pi/4}) = \ln(\sqrt{2}) - i\pi/4$

実部は $\ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\ln(2)$、虚部は $-\pi/4$

(3) $\cosh(1+i)$ の場合:

$\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$ を用います。

$\cosh(1+i) = \frac{e^{1+i} + e^{-(1+i)}}{2} = \frac{e^1 e^i + e^{-1} e^{-i}}{2} = \frac{e(\cos(1)+i\sin(1)) + e^{-1}(\cos(-1)+i\sin(-1))}{2} = \frac{e(\cos(1)+i\sin(1)) + e^{-1}(\cos(1)-i\sin(1))}{2} = \frac{(e+e^{-1})\cos(1) + i(e-e^{-1})\sin(1)}{2} = \frac{e+e^{-1}}{2}\cos(1) + i \frac{e-e^{-1}}{2}\sin(1) = \cosh(1)\cos(1) + i\sinh(1)\sin(1)$

実部は $\cosh(1)\cos(1)$、虚部は $\sinh(1)\sin(1)$

3. 最終的な答え

(1) $(1-i)^i$ の実部は $e^{\pi/4} \cos(\ln(\sqrt{2}))$、虚部は $e^{\pi/4} \sin(\ln(\sqrt{2}))$

(2) $\ln(1-i)$ の実部は $\frac{1}{2}\ln(2)$、虚部は $-\pi/4$

(3) $\cosh(1+i)$ の実部は $\cosh(1)\cos(1)$、虚部は $\sinh(1)\sin(1)$