$0 \le y \le 2$において、曲線 $x = e^y - 2$ と $y$ 軸に挟まれた部分を、$y$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。そして、答えの形式は $V = (\frac{1}{2}e^4 - \fbox{3}e^2 + \frac{\fbox{4}\fbox{5}}{\fbox{6}})\pi$ となっています。

1. 問題の内容

$0 \le y \le 2$において、曲線 $x = e^y - 2$ と $y$ 軸に挟まれた部分を、$y$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。そして、答えの形式は $V = (\frac{1}{2}e^4 - \fbox{3}e^2 + \frac{\fbox{4}\fbox{5}}{\fbox{6}})\pi$ となっています。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、与えられた曲線 $x = f(y)$ を $y$ 軸の周りに回転させることで得られます。体積 $V$ は以下の積分で計算できます。

$V = \pi \int_a^b [f(y)]^2 dy$

この問題では、$f(y) = e^y - 2$ であり、$a = 0$、$b = 2$ です。したがって、

$V = \pi \int_0^2 (e^y - 2)^2 dy$

積分を展開します。

$V = \pi \int_0^2 (e^{2y} - 4e^y + 4) dy$

次に、各項を積分します。

$V = \pi [\frac{1}{2}e^{2y} - 4e^y + 4y]_0^2$

積分区間 $[0, 2]$ で評価します。

$V = \pi [(\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + 8) - (\frac{1}{2} - 4 + 0)]$

$V = \pi (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + 8 - \frac{1}{2} + 4)$

$V = \pi (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + \frac{23}{2})$

$V = (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + \frac{23}{2})\pi$

$V = (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + \frac{46}{4})\pi$

問題文に与えられた形式と比較すると、$\frac{45}{6}$という形になっているので、$\frac{23}{2}$を$\frac{69}{6}$に変換します。よって、

$V = (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + \frac{23}{2})\pi = (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + \frac{69}{6})\pi$

比較することにより、3は4, 4は6, 5は9, 6は6と求められます。

3. 最終的な答え

$V = (\frac{1}{2}e^4 - 4e^2 + \frac{23}{2})\pi$

従って、

$\boxed{3} = 4$

$\boxed{45} = 23$

$\boxed{6} = 2$

この場合は、$\frac{23}{2} = \frac{69}{6}$なので、

$\boxed{3} = 4$

$\boxed{45} = 69$

$\boxed{6} = 6$

問題文に与えられた形式を尊重すると、

$\boxed{3} = 4$

$\boxed{45} = 23$

$\boxed{6} = 2$

が最も適切です。