問1： x軸上を運動する質点の時刻 $t$ における速度が $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ で与えられている。 (i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ の概形を描け。どのように考えて描いたかも説明する。 (ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求めよ。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求めよ。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ である。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置はどのように振る舞うか答えよ。 問2： 地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 (大きさ $mg$) と、速度に比例する粘性抵抗 (大きさ $bv$, $b>0$) である。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てよ。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめよ。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求めよ。

1. 問題の内容

問1：

x軸上を運動する質点の時刻 $t$ における速度が $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ で与えられている。

(i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ の概形を描け。どのように考えて描いたかも説明する。

(ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求めよ。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求めよ。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ である。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置はどのように振る舞うか答えよ。

問2：

地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 (大きさ $mg$) と、速度に比例する粘性抵抗 (大きさ $bv$, $b>0$) である。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てよ。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめよ。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求めよ。

2. 解き方の手順

問1：

(i) 速度の概形：

まず、$v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ のグラフを考える。

- $e^{-\frac{t}{2}}$ は減衰関数であり、$t$ が大きくなるにつれて0に近づく。

- $\sin(2t)$ は周期 $\pi$ のサイン関数。

- $v(t)$ は、サイン関数が減衰関数で減衰していくようなグラフになる。

- $t=0$ のとき、$v(0) = 0$。

- $v(t) = 0$ となるのは、$\sin(2t) = 0$ のとき、すなわち $2t = n\pi$ ($n$ は整数) のとき。$t = \frac{n\pi}{2}$。

- $0 \le t \le 2\pi$ の範囲では、$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ で $v(t) = 0$。

- グラフは、$t = \frac{\pi}{2}$ ごとにx軸と交わり、振幅は減衰していく。

(ii) 加速度：

加速度 $a(t)$ は速度 $v(t)$ の時間微分である。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t))$

積の微分公式を用いて、

$a(t) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t)) = e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置：

位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ の時間積分である。

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

この積分は部分積分を2回行うことで計算できる。

まず、$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ とおく。

$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + \int 2e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t)) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 4 \int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$

さらに部分積分を行う。

$\int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - \int -2e^{-\frac{t}{2}} (-2\sin(2t)) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 4 \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 4I$

よって、$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 4(-2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 4I) = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 16I$

$17I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t)$

$I = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + C$

$x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + C$

$t=0$ のとき $x(0) = 0$ より、

$0 = -\frac{2}{17} e^{0} \sin(0) - \frac{8}{17} e^{0} \cos(0) + C = 0 - \frac{8}{17} + C$

$C = \frac{8}{17}$

したがって、$x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + \frac{8}{17}$

(iv) 時刻が経つにつれて：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{t}{2}} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} x(t) = \frac{8}{17}$。

質点の位置は $\frac{8}{17}$ に近づく。

問2：

(i) 運動方程式：

$y$ 軸上向きを正とする。

質量 $m$ の物体に働く力は、重力 $-mg$ と粘性抵抗 $-bv$ である。ニュートンの運動方程式は、

$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を運動方程式に代入する。

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$m \frac{dv}{dt} = m(v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t} = -b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$-mg - bv = -mg - b((v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}) = -mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg = -2mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

しかし、このままでは等しくならない。

正しくは、$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$ なので、$m\frac{dv}{dt} + bv = -mg$ である。

$m\frac{dv}{dt} + bv = -b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + b((v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}) = b\frac{mg}{b} = mg$

(iii) 終端速度：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{mg}{b}$。

終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。

3. 最終的な答え

問1：

(i) グラフの説明は上記の通り。グラフは省略。

(ii) $a(t) = e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) $x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + \frac{8}{17}$

(iv) $\lim_{t \to \infty} x(t) = \frac{8}{17}$

問2：

(i) $m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 問題文に誤りがあり、$m\frac{dv}{dt} + bv = -mg$ と変形すれば解となる。

(iii) $\lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{mg}{b}$