不定積分 $\int \frac{3x^2+8x-11}{x+4} dx$ を計算し、与えられた式 $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \log|x+5| + C$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{3x^2+8x-11}{x+4} dx$ を計算し、与えられた式 $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \log|x+5| + C$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{3x^2+8x-11}{x+4}$ を多項式と有理関数の和に変形するために、多項式除算を行います。

$3x^2 + 8x - 11$ を $x+4$ で割ると、商は $3x - 4$、余りは $5$ となります。

したがって、

$\frac{3x^2+8x-11}{x+4} = 3x - 4 + \frac{5}{x+4}$

となります。

次に、この式を積分します。

$\int (3x - 4 + \frac{5}{x+4}) dx = \int 3x dx - \int 4 dx + \int \frac{5}{x+4} dx$

$= \frac{3}{2}x^2 - 4x + 5\log|x+4| + C$

与えられた式と見比べると、

$\frac{1}{2}x^2$ の係数は $\frac{3}{2}$ であるべきなので、$1$ の欄は $3$

$-3x$ の係数は $-4$ であるべきなので、$3$ の欄は $4$

$4 \log|x+5|$ の $4$ は $5 \log|x+4|$ の $5$ であるべきなので、$4$ の欄は $5$ で、$x+5$ではなく$x+4$である. よって、$5$ の欄は $4$.

3. 最終的な答え

$\int \frac{3x^2+8x-11}{x+4} dx = \frac{3}{2}x^2 - 4x + 5\log|x+4| + C$

よって、求める答えは、

1: 3

2: 2

3: 4

4: 5

5: 4