次の定積分の値を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int_{1}^{3} \frac{2x+1}{x^2} dx = \boxed{1} \log3 + \boxed{\frac{2}{3}}$ (2) $\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x| dx = \boxed{4}$ (3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{4+x^2} dx = \boxed{\frac{\pi}{5}}$ (4) $\int_{-\pi}^{\pi} (x^3+x^2+x+\sin x) dx = \boxed{\frac{6}{7}} \pi^3$

1. 問題の内容

次の定積分の値を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int_{1}^{3} \frac{2x+1}{x^2} dx = \boxed{1} \log3 + \boxed{\frac{2}{3}}$

(2) $\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x| dx = \boxed{4}$

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{4+x^2} dx = \boxed{\frac{\pi}{5}}$

(4) $\int_{-\pi}^{\pi} (x^3+x^2+x+\sin x) dx = \boxed{\frac{6}{7}} \pi^3$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{1}^{3} \frac{2x+1}{x^2} dx = \int_{1}^{3} (\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$

$= [2\log|x| - \frac{1}{x}]_1^3 = (2\log3 - \frac{1}{3}) - (2\log1 - 1)$

$= 2\log3 - \frac{1}{3} + 1 = 2\log3 + \frac{2}{3}$

したがって、空欄は左から順に2, 2/3。

(2)

$\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x| dx = \int_{-\pi}^{0} -\sin x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$

$= [\cos x]_{-\pi}^{0} + [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\cos0 - \cos(-\pi)) + (-\cos\frac{\pi}{2} + \cos0)$

$= (1 - (-1)) + (0 + 1) = 2 + 1 = 3$

$\sin x$ のグラフを考えると, $-\pi$ から $0$ までの積分は $0$ から $\pi$ までの積分と同じなので，

$\int_{-\pi}^{\pi/2} |\sin x|dx = \int_{-\pi}^{0} |\sin x|dx + \int_{0}^{\pi/2} |\sin x|dx= \int_{\pi}^{0} -\sin xdx + \int_{0}^{\pi/2} \sin xdx$

$= [cos x]_{-\pi}^{0} + [-cos x]_{0}^{\pi/2}= (1 - (-1)) + (-0+1)= 2+1 = 3$

しかし、問題文に4と書いてあるので、タイプミスもしくは問題が間違っている。正しくは３である。

(3)

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4+x^2} dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{4(1+(\frac{x}{2})^2)} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} dx$

$u = \frac{x}{2}$とおくと、$du = \frac{1}{2} dx$ より $dx = 2du$。積分範囲は$0 \to 1$となるので、

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^2} 2du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{2} [\arctan u]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2} (\arctan 1 - \arctan 0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$

問題文に$\pi/5$と書いてあるのでタイプミスもしくは問題が間違っている。正しくは$\pi/8$である。

(4)

$\int_{-\pi}^{\pi} (x^3+x^2+x+\sin x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} x^3 dx + \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx + \int_{-\pi}^{\pi} x dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sin x dx$

$x^3$, $x$, $\sin x$は奇関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} x^3 dx = 0$, $\int_{-\pi}^{\pi} x dx = 0$, $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{3}\pi^3 - \frac{1}{3}(-\pi)^3 = \frac{1}{3}\pi^3 + \frac{1}{3}\pi^3 = \frac{2}{3}\pi^3$

3. 最終的な答え

(1) 2, 2/3

(2) 3

(3) $\pi/8$

(4) 2/3