不定積分 $\int \log(3x-4) dx$ を計算し、与えられた形式 $\frac{1}{10}(11x-12)\log(13x-14)-x + C$ で表される答えの空欄を埋めます。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \log(3x-4) dx$ を計算し、与えられた形式 $\frac{1}{10}(11x-12)\log(13x-14)-x + C$ で表される答えの空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて不定積分を計算します。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \log(3x-4)$ と $dv = dx$ を選びます。このとき、$du = \frac{3}{3x-4} dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int \log(3x-4) dx = x \log(3x-4) - \int x \frac{3}{3x-4} dx = x \log(3x-4) - \int \frac{3x}{3x-4} dx$

$\int \frac{3x}{3x-4} dx$ を計算するために、$\frac{3x}{3x-4} = \frac{3x-4+4}{3x-4} = 1 + \frac{4}{3x-4}$ と変形します。

$\int \frac{3x}{3x-4} dx = \int (1 + \frac{4}{3x-4}) dx = \int 1 dx + \int \frac{4}{3x-4} dx = x + \frac{4}{3} \int \frac{3}{3x-4} dx = x + \frac{4}{3} \log|3x-4| + C$

したがって、

$\int \log(3x-4) dx = x \log(3x-4) - (x + \frac{4}{3} \log(3x-4)) + C = x\log(3x-4) - x - \frac{4}{3} \log(3x-4) + C = (x - \frac{4}{3}) \log(3x-4) - x + C = \frac{1}{3} (3x - 4) \log(3x-4) - x + C$

$\frac{1}{3} (3x - 4) = \frac{1}{10}(11x - 12)$とすると、$3x - 4$ は $3x-4$　で　$\frac{1}{3}$ は $\frac{1}{10}$ ではないので、係数を調整する必要があります。

$\int \log(3x-4) dx = \frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4)-x + C$

空欄に当てはまる数字を決定します。与えられた式と比較すると、

$\frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4)-x + C = \frac{1}{10}(11x-12)\log(13x-14)-x + C$

なので、11は3, 12は4, 13は3, 14は4である必要があり、$\frac{1}{3}$ は $\frac{1}{10}$ではない。

$\frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4)-x+C$

1. 問題の内容より$\frac{1}{10}(11x-12)\log(13x-14)-x + C$になっているのはおかしいので、問題のタイプミスだと思われる。

$\int \ln(3x-4) dx$

3. 最終的な答え

11: 3

12: 4

10: 3 (本来3であるべき)

13: 3

14: 4

$\int \log(3x-4) dx = \frac{1}{3} (3x - 4) \log(3x - 4) - x + C$