不定積分 $\int \frac{3x-26}{x^2-8x+12} dx$ を計算し、その結果を $6 \log|x-7| - 8 \log|x-9| + C$ の形式で表したときの、係数と定数を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{3x-26}{x^2-8x+12} dx$ を計算し、その結果を $6 \log|x-7| - 8 \log|x-9| + C$ の形式で表したときの、係数と定数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分対象の有理関数を部分分数分解します。

分母 $x^2 - 8x + 12$ を因数分解すると、$(x-2)(x-6)$となります。

したがって、次のように部分分数分解できます。

$\frac{3x-26}{(x-2)(x-6)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-6}$

両辺に $(x-2)(x-6)$ を掛けると、

$3x-26 = A(x-6) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき、

$3(2) - 26 = A(2-6)$

$6 - 26 = -4A$

$-20 = -4A$

$A = 5$

$x = 6$ のとき、

$3(6) - 26 = B(6-2)$

$18 - 26 = 4B$

$-8 = 4B$

$B = -2$

したがって、

$\frac{3x-26}{x^2-8x+12} = \frac{5}{x-2} - \frac{2}{x-6}$

積分を計算します。

$\int \frac{3x-26}{x^2-8x+12} dx = \int \left( \frac{5}{x-2} - \frac{2}{x-6} \right) dx$

$= 5 \int \frac{1}{x-2} dx - 2 \int \frac{1}{x-6} dx$

$= 5 \log|x-2| - 2 \log|x-6| + C$

与えられた形式 $6 \log|x-7| - 8 \log|x-9| + C$ と比較すると、求める値は異なっていることがわかります。

問題文に与えられた形式での答えは存在しないと考えられます。

しかし、問題文の誘導に従い、形式が異なることを考慮せず、形式上求められる数字を当てはめることとします。

$5 \log|x-2| - 2 \log|x-6| + C = 6 \log|x-7| - 8 \log|x-9| + C$

形式的に当てはめると、6の場所に5, 7の場所に2、8の場所に2、9の場所に6が入ると考えられます。

3. 最終的な答え

6: 5

7: 2

8: 2

9: 6