$\int_{0}^{x} e^t f(t) dt = 2xe^{2x} - 3e^{2x} + 3e^x$ を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{x} e^t f(t) dt = 2xe^{2x} - 3e^{2x} + 3e^x$ を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式

$\int_{0}^{x} e^t f(t) dt = 2xe^{2x} - 3e^{2x} + 3e^x$

の両辺を $x$ で微分します。積分の微分に関する基本定理より、左辺は $e^x f(x)$ となります。

右辺を微分するには、積の微分 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

まず、

$\frac{d}{dx}(2xe^{2x}) = 2e^{2x} + 2x(2e^{2x}) = 2e^{2x} + 4xe^{2x}$

$\frac{d}{dx}(-3e^{2x}) = -3(2e^{2x}) = -6e^{2x}$

$\frac{d}{dx}(3e^x) = 3e^x$

したがって、

$\frac{d}{dx}(2xe^{2x} - 3e^{2x} + 3e^x) = (2e^{2x} + 4xe^{2x}) - 6e^{2x} + 3e^x = 4xe^{2x} - 4e^{2x} + 3e^x$

よって、

$e^x f(x) = 4xe^{2x} - 4e^{2x} + 3e^x$

両辺を $e^x$ で割ると、

$f(x) = 4xe^x - 4e^x + 3$

3. 最終的な答え

$f(x) = 4xe^x - 4e^x + 3$