(1) $\int \frac{3x^2 + 8x - 11}{x+4} dx$ を求める問題です。ただし、$C$ は積分定数です。結果は $\frac{1}{2}x^2 - [3]x + [4] \log|x+[5]| + C$ の形式で答えます。 (2) $\int \frac{3x-26}{x^2-8x+12} dx$ を求める問題です。ただし、$C$ は積分定数です。結果は $[6] \log|x-[7]| - [8] \log|x-[9]| + C$ の形式で答えます。

1. 問題の内容

(1) $\int \frac{3x^2 + 8x - 11}{x+4} dx$ を求める問題です。ただし、$C$ は積分定数です。結果は $\frac{1}{2}x^2 - [3]x + [4] \log|x+[5]| + C$ の形式で答えます。

(2) $\int \frac{3x-26}{x^2-8x+12} dx$ を求める問題です。ただし、$C$ は積分定数です。結果は $[6] \log|x-[7]| - [8] \log|x-[9]| + C$ の形式で答えます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{3x^2 + 8x - 11}{x+4}$ を筆算により割り算を行います。

$3x^2 + 8x - 11 = (x+4)(3x-4) + 5$ となります。

したがって、

$\frac{3x^2 + 8x - 11}{x+4} = 3x - 4 + \frac{5}{x+4}$

よって、

$\int \frac{3x^2 + 8x - 11}{x+4} dx = \int (3x - 4 + \frac{5}{x+4}) dx$

$= \int 3x dx - \int 4 dx + \int \frac{5}{x+4} dx$

$= \frac{3}{2}x^2 - 4x + 5 \log|x+4| + C$

しかし、求める形は$\frac{1}{2}x^2 - [3]x + [4] \log|x+[5]| + C$です。

したがって、与えられた形式にあうように式変形をします。

元の式をよく見ると先頭の$\frac{1}{2}x^2$の係数が誤りであることに気づきます。

問題文が誤記であると判断し、

$\int \frac{3x^2 + 8x - 11}{x+4} dx = \frac{3}{2}x^2 - 4x + 5 \log|x+4| + C$

より、$3=4$, $4=5$, $5=4$とすればよいと考えられます。

(2)

まず、$\frac{3x-26}{x^2-8x+12}$ を部分分数分解します。

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

$\frac{3x-26}{x^2-8x+12} = \frac{3x-26}{(x-2)(x-6)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-6}$

両辺に $(x-2)(x-6)$ をかけて、

$3x-26 = A(x-6) + B(x-2)$

$x=2$ を代入すると、

$6-26 = A(2-6) + B(0)$

$-20 = -4A$

$A = 5$

$x=6$ を代入すると、

$18-26 = A(0) + B(6-2)$

$-8 = 4B$

$B = -2$

したがって、

$\frac{3x-26}{x^2-8x+12} = \frac{5}{x-2} - \frac{2}{x-6}$

よって、

$\int \frac{3x-26}{x^2-8x+12} dx = \int (\frac{5}{x-2} - \frac{2}{x-6}) dx$

$= 5 \int \frac{1}{x-2} dx - 2 \int \frac{1}{x-6} dx$

$= 5 \log|x-2| - 2 \log|x-6| + C$

したがって、$6=5$, $7=2$, $8=2$, $9=6$

3. 最終的な答え

(1)

3 = 4

4 = 5

5 = 4

(2)

6 = 5

7 = 2

8 = 2

9 = 6