$\lim_{x \to 0} x \cot 2x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} x \cot 2x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\cot 2x$ を $\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ と書き換えます。

すると、

$$\lim_{x \to 0} x \cot 2x = \lim_{x \to 0} x \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} \cos 2x$$

となります。

ここで、$x \to 0$ のとき $\cos 2x \to 1$ なので、$\lim_{x \to 0} \cos 2x = 1$ です。

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \frac{2x}{\sin 2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

となります。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} x \cot 2x = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} \cos 2x = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$